X义2+X +:-青年数学叢書 ((+】 最短袭 柳斯捷尔尾克著 3533 32 to.R-) 1+8 中阅专手去版江 ==========第1页========== 青年数学叢書 最短 能 柳斯捷尔尼克著高彻譯 中网丰年生版北 1957年・北京 ==========第2页========== 内容提要 一只蒼蝇要从一道墙瑾上的点爬到嘟近一道穡瑾上 的点B。慈样爬路程最短？用一定長短的一道雅笆，怎样園所 包含的面积最大？解决这一类間题題，数学上是于变分学的范圍的。这本小册子完全用初等数学作基础，来问中等程度的讀者介紹变分学.作者把一些数学問擷联系到物理間题上去，証明虽然不是很严格的，郑很簡單直覌，使藏者很容易頠会，而且对于藏者发展这方的数学能也有帮助、 A.JOCTEPHNK KPATYAMLUNE JIMHYN IM3TEX MOCKBA,1955 限公司 ==========第3页========== 目 次 原序… 5 第…講 第一章最簡單的面的最短餞… 7 多面角的面上的最短能……、7 二圓杜面上的最短錢…12 三维式曲面上的最短錢… 21 四球面上的最短钱31 第二章平面綫和空間通綫的儿个性：質以及有关的 一一些間題 ……39 五华面曲笺的切蔻和法毯以及有关的一些调期·…39大面曲线和空間聞曲钱論舆的儿点知識…44 七曲面論里的几点知藏……48 第三章短程锼（测地綬）……50 入关于短程钱的約瀚伯努利定理…50 九关于短程钱的补尤說明…5 一○轉曲面上的短程錢 第二講 第四章：和紧張翱綫的位能有关的間題…65 〔8) ==========第4页========== 最 短 棧 麓的不改变度度的运动……6行 一二渐园棧和渐伸錢71 一三彈性細越系铳的衡問惠…73第五章等稠問題… …78 一四曲拳和红程曲季… …78 一五等周問題… 81 第六章費馬原理它的推論 87 一六費原理 87 七折射曲亲爸… 90 一入捷問题… …94 一九悬鏈钱和最小回轉曲面用趙 97 二O力学和光学之間的关联 ………106 ==========第5页========== 原序 狂这本小雅子里，我捫从初等数学的覌点来研究一系列的所变分間題。这些間題研究一些和曲殺有关的量，并牡 ·；寻求邢些使这种量达到它的极大值或极小镇的曲钱。下列的,.間題就是例子：在某个面上連接雨定点的一切曲機当中求出最短的；在不面上有一定長度的閉曲钱当中求出包圍最大面积的出钱，等等。 本青的材料基本上食經由作者在国立莫斯科大学中学数学小組上講过.第-一譯（第1-10节）的内容基本上和190年出版的作者所著的小珊子“短程餐”的内容一致. 我只假定詨者熟悉初等数学髁程、第一章完金是帶初等数学性質的，其余儿章也不要求事門知藏：不过要求对数学觀程有比較好的素养，井且善于思索。 本書的全部材料可以看成是变分学的初步介紹（所謂变分学就是数学当中系統地研究有关求泛函数的极大极小問題的一个分支)。变分学不屬于此較精簡的例如工科大学鬼所学的“高等数学”課程范圍之内，然而对于开始学寸“高等敛学課程的人来說，我們認为在事先稍微多看一些也不是无用处的. 对于熟悉初等数学分析的藏者来設，要把本書里所叙逃 〔53 ==========第6页========== 链 的~一些不严格的定义和論证改得很严格（关于这方面的雨释他在那些用小号宇印出的章节里可以經常遇到)，普不会有什么困滩；例如，不应当說微小的量和它的近似等式（火致等于)，而应当說无穷小量和它的等价。假若邦些要求更高的觳者憝究对于这里的討論里所容許的严格程度和避輯上的完善程度威到不满足，那末可以对他說明，这需要有一些数学分析的基本概念的邏輯上的磨練，就象他在大学分析稞程里所遇到的。沒有这样的磨森，分析里象变分学这样的部分就不可能作严格的和系統的叙逃、 数学分析产生了有力的分析器械，它有时自动地解决了多闲摊問題。但在掌握数学的所有阶设当中，特别重要的是着出所要解决的間題的簡單几何意义和物理意义。要学会象数学家們所說的在手上”獬决間题，就是說，要学会去发現邢些最然并不严格、却很簡單而直覌的証明。 假若这本小壢子多少对于髓者发展这方面的数学才能有帮助，著者就認为他辐写本書并沒有白費气力. 柳斯捷尔尼克 ==========第7页========== 第一講 第一章 最簡單的面上的最短綾 一多面角的面上的最短縫 1。二面角上的最短钱讀者当然知道，連接本面上雨点的所有筏当中，最短的綫是直綫。 H 我們現在来研究任意一个面上的雨 点A和B;它們可以用这面上的无数多 B 条筏来連接。但是这些钱当中哪一条最 g 短？换句話說，要想沿这个面从A点到 B N B点，应骸怎样走路程最短？ 图1. 常 我們先就一些最簡單的面来解这一个間题。我們从这样 着 的-一个問題开始：給定-一个二面角④，它的雨面是1和2，棱 是MN;在这雨面上給定雨点：Q上的点A种Q2上的点B(图 1)。点A和点B可以用无数多条在这二面角的面Q1和 上的筏連接起来。我們要在这些綫当中求出最短的-一条.若二面角等于平角(180°)，那来面1和2当中的-一面 ①图1上所画的只是这无限伸延的一面角的一部分◆ 〔7〕 ==========第8页========== 8 最 短 熊 是另一一面的延籁（也就是合成一个平面），因而所寻求的最短 綫也就是連接点A和点B的直綫段AB。但若这二面角不等 于本角，面Q1和Q2就不可能一面是另一面的延徽，因而直线 段AB就不在这雨面上。我們把这雨面当中的一面繞着直钱 MN轉，使这雨面变成一面是另一面的延馥，换句話說，把这 面角展在一个平面上（图2）。面21和Q2变成了牛不面2： 和2'.道綫MN变成了分开Q1'1Q2 直殺M'N';点A和B变成了点A'和B'(M 落在Q:'上，B'落在Qa'上)：在二面角的 B 面上連接A、B二点的每一条钱也都变成 了我們的不面上連接'、B雨点的和原来 同样萇短的綫。二面角的面上蓮接.1、} 图2. 雨点的最短綫就变成了不面上連接A'、B' 点的最短綫，也就是变成了直畿段A'B'.这綾段交道钱 M'N于某-点C,角A'C'M'和N'CB是对頂角，所以相等 (图2)。它鬥每一个的大小記作《。 我們現在把Q1'和Q2繞M'N'轉，使得又重新得到原米 的二面角。半面Q1和Q2'再变成这二面角的面Q1和2， M'N'变成棱MN,而点'和B'变成点A(在面Q1上)和点 B(在面Q2上)，直篾段4'B'就变成在这二面角的面上連接 A、B雨点的最短袋。这条最短綾显然就是折綾ACB,它的 4C那-一段在面Q1上，CB这一段在面Q2上。显然，由雨个 克等的角AC'M和N'CB所变成的角ACM和NCB1H 等于ā，也就是就它們仍旧相等。因此，在二面角的面上速接 ==========第9页========== 最循单的面土的最短栽 它上面的（不在同-一面上的）雨点A和B的袋当中最短的是这 样的-一条折袋AB,它的頂点C在棱.MN上，而它的雨条边 和棱所作成的雨个角ACM和NCB相等。· 我們有时谿現在所尉論的这个問題帶上一点牛开玩笑的 性質。一只茶蝇要想从一道墙壁上的点A爬到鄰近-一逍墙壁 上的点B。假若它要沿墙壁从点A爬过最短的路到达点B, 試問它应該怎样爬。我俐現在要得出解答已經不难了，2多面角面上的最短栽.·我們現在来討論比較复杂-一点的情形。給定一个多面的面（图3），它是由几个面21、 Q2、Qa、Q4…Qm和棱M1N1、M2N2、M8Ng…Mn-iNm-1所粗成（图3所画的是=4的情形)。在这多 生 面角的雨个不同的面上 (此如Q1和Q4上)給定 雨点A和B.現在要求 2 伪 出这多面角的面北連接 g 92 点A和B的最短錢 假設最短的是畿 B 图3 内 AB,叉設这条通过面Q1、2、Qg、Q4. 0 我門現在把这些面所 粗成的这一部分多面角展在一个平面上（图4）。这时候这些面变成了这本面上的多边形Q1'、Q2'、Qg'、Q4',而把面Q1、Q、(,Q4兩雨接連起来的楼MN1、M2N2、MgNg变成了多边形 Q1'、2'、Q'、Q4的边I1'N1'、M'Ng'、Mg'Ng',这些多边形就 是由它捫雨雨速接在：一起的。点A和B变成了平面上的点 ==========第10页========== 10 最 短 钱 A'和B,而在多面角的面被展开的这一部分上連接A、B雨点 的袋也变成平面上連接A'、B雨点的錢。連接A、B雨点的織 % 当中最短的綫也 就变成連接A'、 B'雨点的最短的 月 面上的筏，也 c 就是变成了直綫 的 段'B'①。在这 N 里，我們完全重 图4. N 复先前的論就： 由直篾A'B′和边M1'N1'所作成的对頂角a1和B1相等；同理，由直袋AB'和边M2'N2'、M8'Ng'所作成的对頂角a2和B、ag和B:也雨雨相等（图4）. 假若重新把構成我阀这些多边形的这部分平面弯折成 多面角的面，使得多边形Q1'重新变成面Q1,多边形Q2'重新 变成面Q2,多边形Q8'变成面Q,Q4'变成Q4,那末点A' B就变成点A和B,而直綫段A'B'变成额AB,变成多面角 的面上連接A、B兩点的最短綫。这条最短綫是一条折綫，它 的頂点在多面角的面的一些棱M1N1、MV2、MsN8上。而由它的相接的雨条边和棱所作成的角a1和乃1（以及a2和B2、c。和乃g)相等. 3.棱柱側面上的最短钱在图5.上画的是一个棱 ①A'B1券过这些多边形的周条边的情形，我門这到不討論了. ==========第11页========== 最簡里的面上的接短綫 柱四，和速楼糗柱上不任同一側面 上的雨点A和B的最短機。这最短钱 是一条折镜影它的頂点是楼柱的棱上 的C1、CC,面它的相接的雨边和这 雨边的公共頂点所在的一条棱所作成的角，由前所說，是互等的： a1=81,a2=82,a8=B3,.... 也 但除此而外，我們还有B1=Q2。 图.5. 实际上，这雨个角是平行綫M1N1、M2N和截袋(1C所 成的内结角、同理，B=a3。因此，我們有 a1=B1=a2=B2=ag=Bg-… 换句話殺，棱柱鲫面上的最短折镂AB的各边和棱柱的各个 棱所作成的角立等、 4。棱錐的面上的最短殺 0 設在頂点是O的棱錐②的雨个側 面上給定了雨点A和B(图6). 9 这两点可以在雏面上用无数多条 C 綫連接起来，这些緩当中有一条 B G 最短的綫AB。根据前面所說， 9 筏AB是一条折織，它的頂点 C1、C、C8在棱雏的楼上，而 B 由这折綫的各边和棱錐的棱所 图 ①耧柱的侧面应当想象成是无限伸延的， ②棱锥的卿面应当想象成是无限伸延的。 ==========第12页========== 12 最 短 钱 作成的角a1和B1、a2和B2、dg和Bg一定雨雨相等： a1=B1,02=8g,Qg=Bg,… 我博現在来酐究边C1C,所在的面P1OP2;若y1表示POP2,琳未在三角形C1OC2里，角a2是外角，而角B1和y1是内角。三角形的外角等于雨内对角的和，所以 a2=B1+y1,或a2-B1=y1。 但因B1za1,所以a2-aY1. 同理，ag一a2=Y2,这里：2是相鄰的雨个側棱OP:和OPs之閱的交角，等等。 因此，最短钱和棱维的任意南个棱相交的角的差等于在頂端的相应见个平面角的和。 二调柱面上的最短綫 1。圆柱面上的最短钱.我門現在来求某些最簡單的曲面上的最短殺。先从圓柱面开始④。 我們先要注意，圓柱面可以用一粗和圆柱面的轴本行、齿 而自身也就互相本行的滇殺全部盖滿。这些直钱斟作圓柱面的母綫。 在圓柱面上输定点A和B(图7)。我捫要 从那些在圓柱面上連接A、B雨点的錢当中找 ☑02 出最短的那一条。用AB来記这一条速接A、B 图7. 兩点的最短袋.我們先討論A、B雨点不在同-一 ①现在所討输的有限圓柱面（图7）是无限凰柱面的一部分。 ==========第13页========== 最椭单的面上的最短钱 18 条母綫上的情形。 我捫把柱面沿着某 ·条母袋PQ(.1B不相 交的)剪开，井且把它展开 一个不而上；于是就得到…个矩形（图8）（它 a q. 的一对边，P'P"和Q'Q”, 图8. 是由展开圓柱面兩端的圓周而得到的；另-一对边，P'Q' P'Q,是由切口PQ的雨边所作成)。圓柱的母綫变成和矩 形的边P'Q'相平行的直綫。A、B雨点变成在矩形里面的 A'、B雨点。在圓柱面上連接A、B雨点的棧变成速接矩形里 面A'、B兩点的平面上的袋。圓柱面上連接A、B雨点的最短 狐AB变成連接A'、B'雨点的最短的平面上的綫，就是直綫 段A'B'。因此，在把圓柱的衡面展开成平面上的矩形之后，圓 柱面上的最短弧AB变成直錢段A'B'.圓柱的母綫PQ1、 Pa…变成和矩形PQ'QP的边PQ、P"Q'相平行的 0 滇筏P1'Q1'、P2'Q2'…綫段A'B这些直綫折作成的角，作 为不行筏的同位角，是互等的。用a来記这些的大小. ” 我捫現在把矩形P'Q'Q"P”卷起来（把它的对边P'Q'和 "Q”粘在一起)，使得它叉重新回到本来圓柱的形式。点A' 和B父再变成圓柱面的点A和B,而'、B的蓮綫A'B' 又再变成圓柱面上的最短孤AB;直羲'B种直袋P1'Q1'、 P:Q2’…的交角变成和它相等的、弧AB和圓柱母袋P1、 PQ的交角。因为直綫A'B′截所有和PQ不行的直钱 ==========第14页========== 14 最 短 織 战等角a,所以A'B'所变成的最短弧AB截圓柱所有的母綫 ● 成等角a(图7). 我們再来尉論A、乃雨点在同一条母綫上这一种特别情 形（图9）.显然，在这种情形，母綫上的这-一段綫AB就是圓 柱面上1、B雨点之間的最断离。 我們还要把A、B雨点在阗柱的同一圓截綫上这一种特 别情形挑出来談-一談（图10）， 这截綫的弧AB和所有的母袋 垂直。它就是連接A、B雨点的 最短胍. 若把圓柱面沿着和弧AB 不相交的母綫剪开，并把它展 图9. 图10. 成不面上的矩形，那在副才所 肘論的雨种特别情形里，最短弧变成和矩形的边本行的綫段。在所有的其他情形，最短綫都和母綫相交成一个不等·于直角的角（同时也不等于0）0. 2。螺旋钱圓柱面上截所有母錢成等角（不等于道角）的曲綫叫啡作螺旋綫。 我們用α記螺旋綫和圓柱母綫的交角。柱母綫相交成直角的畿是圓截綫。我們可以把圓截綫看成是螺旋綫的一个板限情形，这时候α变成直角。同理，圓柱的母綫也可以看成是另一个极限情形，这时筷α变成0。 ①者能把幕求圓桂面上的最短钱这一間題和第11貞上落求虔柱上的最短折钱間題比核一下，倒很有意思（前一閥題是后一間題的极限情形）. ==========第15页========== 最簡單的面上的最短棧 15 我們現在来研究圓柱面上的雨个运动：和軸邓行（沿哥綫）的运动和用一定速度橈着翻轉(沿圓截綫)的运动. 这雨个运动任何一个都可以朝着雨个相反的方向进行。我們把在直立圓柱上的向上的运动作为正，向下的运动作为负。又把在直立圓柱上从右到左的轉动（对于头上脚下沿着圓柱 图11. 的軸站着的人来說)或反时针轉作为正轉动。从左到右的轉动或順时針轉作为負轉动。 沿螺旋綫的运动可以从雨个运动相加得到：这雨个运动就是和圓柱的轴本行的运动和繞軸的轉动。假若沿着一条螺旋綫向上运动同时作着正轉动一从右到左（图11），这螺旋钱就作右螺旋綫，若是向上运动同时作着镜轉动一从左到右，这螺旋袋就叫作左螺旋綫。 許許多多繞着直立的支杆爬的蔓生植物（牽牛花、荣豆）都取右螺旋袋的形式（图12）。另一方面，例如蛇麻草，却取左螺旋袋的形式（图13）. 和 假設-一点在沿螺旋綫运劲的时猴，交某一母殘于点M,前 在醬籁沿这螺旋綫运渤的时候，它又再交这条母錢于点V;当 9 这点走完螺旋殺的弧MN的时候，它威繞着圓柱的軸轉了一 个全周；同时它还向上走了一段距离，等于直綫段MN的長 (图11)。假若轉动的速度是0，因而点只是沿着母綫不行側柱的軸移动，这时候就出現了第一种极限情形；假若不行圓柱的轴的移动速度是0，因而点只是繞軸沿圓周轉动，这时候就 ==========第16页========== 图12. 出現了另外一种极根情形。 根据以上所說，我們就得出 定理圓柱面上蓮接裕定的A、B 图13， 雨点的最短弧AB是一条螺旋耭的弧. 3。逴接耠定的两点的螺旋筏柱面上的雨点可以用不词的螺旋後弧連接滟来、假定圓柱面上的雨点是由最短 孤AB連接在一起；这孤一定是一条螺旋綫的斯，而当把圓柱 面展开（沿一条和孤AB不相交的母篾剪开）成不面上的矩形 的时猴，它就变成了一条直钱段（图7和8）。 我們現往把圓柱面沿一条种最短孤AB相交于点C的母 畿P1Q1剪开（图7）。筏AB就被切成AC和CB雨段，假若 学。 把圓柱面展开成平面上的矩形，A、B雨点就分别变成矩形里 面的A”和B雨点（图14），而弧AB的雨个部分AC和OB ↓ 分别变成直筏段A"O”和BC。但点A'和B”可以用矩形 P21'Q”P1”里面的直钱段A”B'速接在一起。显然，A"B ==========第17页========== 最商單的面上的最短緩 1Y 是在这矩形里面速接A" B 和B'雨点的任何蓮綫当 最短的一条。 現在把我們知形的惻 边P1'Q1'和P1Q1粘在 一起，使得C”和C"合在 -一起占据了位置0，这样 图4。 重新把这矩形卷成圓柱；这时候A”和B'雨点重新变成圓柱 BX足 面上的A、B雨点，直綾段AC'和B"C'变成 圓柱面上連接A、B雨点的最短弧AB。而直筏 段A”B”也变成一条螺旋綫弧AB，它也蓮接 A、B雨点。在图15里，AB是过A、B的右螺旋 钱弧，AB是左螺旋綫狐. 图15 和矩形的边P1Q1或P1"1”不相交的箴， 在矩形卷成圓柱之后，变成了和母綫P1Q1也不相交的綫（因 为我們矩形的边P'Q1和P1"Q1”是沿这条直筏粘起来的). 在这些綫当中最短的是麻AB-~AmB(图15).但它可能不是 圓柱面上蓮接A、B雨点的所有筏当中最短的一条，因为假若 AB比AB短，那AB就不是圓柱面上蓮接A、B雨点的最短 钱 現在过点A和圆柱的轴引华不面R1,又过点B和圓柱的 轴引华本面R2(图15). 这雨个华平面作成雨个二面角。这雨角当中的一角包含 抓AB,另一角包会孤4B。这雨条弧当中比較短的是在此鞍 ==========第18页========== 18 最 短 钱 小的二面角里面的一条. 但若牛平面R1和R,一个是另一个的 R 延镀（也就是它們的來角等于一个平角）， 8那弧AB和AB在長度上相等.在这种情 形，圓柱面上連接A、B雨点的最短孤就有 兩条（長度一样）（图16）。 我們所討論的連接A、B雨点的螺旋 綫弧AB和AB有一个共通 图16. 的性質：沿这雨条弧的任何 一条从点A到点B,我們总沒有繞圓柱的軸博 完一个全周。 現在把一張浹長的矩形紙条（假定它的宽等于圓柱的高（图17）)繞圓柱裹鼴許多层。在 图17. 这紙上用针在A、B雨点各穿一孔，然后把它展开成平面上的 矩形。衹条上的某些地方会有点A的穿孔痕迹；在图18里， 这些痕迹用字母A1'、42'、Ag…来記。这些痕迹在一条和矩形横边不行的水不直畿上。若过点A1'、Ag'、A…引谊畿P1'Q1、P2Q、P。Qa…和矩形的另一双边平行，我們就 a 图18 ==========第19页========== 最筋单的面上的最短機 19 分出了一个矩形P1'Q1'Q2'Pg',它是紙条怡好繞圓柱一个全周 的那一部分；当把紙条卷在圓柱上的时猴，切口P1'Q1'和 P多Q2'就落在圓柱上面过点A的母綫PQ上；同时，重合在 一起的点A1'、A2'就落在圓柱的点A王. 我們紙条上的点B1'、B2、B…是圓柱上点B的穿孔痕 迹。它們的分布完圣和点A1、A2'、A'…的分布相似. 用直簸把点A1和点B1、B2、Bg…連接起来.然后重新把我們的衹条卷在圓柱.上，使得点A1'、含'、Ag’…仍日落 在圓柱的点A,点B1、B2、B'…仍旧落在圓柱的点B。直 綫段A1'B1'变成了螺旋镜弧AB(图17)，关于这条螺旋緩 孤，我們前面已經款到过、 假若沿着圓柱面上的曲綫AB从点A到点B,我們襪圓 柱的軸完成了多子%个而少于(+1)个正（負）的全周，或恰 好儿个全周，为簡單起見，我們就說：“这条曲筏AB繞圃柱的 軸轉了见个正（負）整周.” 当把不面裹糰在圓柱上的时候，直綫段A1'Bz'也变成薄 接A、B雨点的一条螺旋餐弧（AB)1(图19)；同样，直袋段 A1'Bg、A'B4…也变成連 接这雨点的螺旋筏弧(AB)2 (图20)、(AB)g…胍(AB)1繞圓能軸轉了一个正整周， 孤(AB)2、(AB)8…分别 轉了雨个、三个…这样的整周。 图9. 图0. ==========第20页========== 8 最 短 機 弧(AB)1是連接A、B雨点并繞圓柱軸轉一 B 个正整周的弧当中最短的一条。同样，(AB)、 (AB);等等分别是轉雨个、三个等等这样的整 周的弧当中最短的。 上面所討論的孤都是右螺旋綫弧。同样也 可以得到連接A、B雨点繞圓柱軸轉一个、雨个、 图21. 三个…負整周的左螺旋綫狐（图21）。这些弧 每·条都是速接A、B雨点并德圓注的轴轉相应数目的负整 周的最短織. 我們現控来說明，一根在点A和点B固定并且糊得紧紧 i 的彈性綫比方一根橡皮筋在圓玉面上是落柱什么样的位置的。棚紧的时候，这根細筏落在一条最短殘上，就是說，落在 一条連接A、B雨点的螺旋綫上。比知說，假若我們把細綾嬲 在圓柱上，使得沿着这根細綫移动的时候，必須繞軸作正轉 (从右到左)，那末这根細籛就落在螺旋綫AB、(AB)1、(AB) …当中的一条上。假若这根細綫繞圓柱的轴轉不到-一至 周，它就落在AB的位置；假若轉过了-一全周，就落在(AB)1 的位置；假若轉过了雨全周，就落在(AB)2的位置，等等. 事实上，在平面上的矩形上，紧糊在点A1'和点B1'、B2'、 Bg…当中某一点的細簇必落在直綫段A1'B1'、A1'B、 A:'B8'…普中的-一条上。假若把这張紙裹纏伦圓柱面上，使 得点A1落在点A上，点B1'、B2、Bg…落在点B上，那末 这根翻得很紧的翱綫必分别合在螺旋畿弧AB、(AB) (AB)2…上。 嘉意会漂蟹游 ==========第21页========== 最簡單的面上的最短钱 21 三 维式曲面上的最短线 I。雠式曲面上的最短线設从点O引雨条射筏OA和 ON.使射筏OA繞射綫ON轉。这时侯射綫OA所猫出的面 作錐式面（圓錐面）（图22），()N 0 作围錐的軸.过点O引出的在维式面上 的射钱4作圓錐的母钱①. 假若过母筏OA和O0所引的面也 过圓雏的軸，这雨条母：綫就叫作对母袋。雨条对母钱把圓錐分成雨个相等的（全同 的)部分。我們把维式曲面沿母綫OA剪 开；剪开以后，维式曲面就可以展开在本面 图22. 上.圓维的頂点O变成下面：的点)'；側雏的母筏变成本面 上过点O的射袋。整个维式曲面就变成不面上的某一个角 A')'A2'(图23)。这个角作圓 维的展开角.它总小于360°。角 的边O'A1'和O'A2'是由鲜式面 上的母綫OA作成的，我們就是 着这条母綫把维式曲面剪开的. 图23， 和母綫OA相对的母筏OC变成 了角41'0'A2的平分綫0'C.事实上，OA和OC心雨条袋把 沿OA剪开的雏式曲面分成两个相等的部分和T。当把这 ①图22里所画的只是无狠团賺的-一部分. ==========第22页========== 22 最 短 楼 曲面展成不面上的角A1'O'A的时候，圓维的这雨个部分各 变成了这角的一牛S和T,而母钱OC变成了这角的平分畿 0'0. 我們已經把剪开了的维式曲面展开在下面上。·現在我們 作一个相反的动作一把角A1'O'A2卷成圓雏。这时候点O 变成了圓錐的頂点，O,角的边O'A1'和OA'变成了同一条母 筏。 我們把平面沿角的边O'A1'剪开。再把剪开了的不面基 在圆錐上。一般說来，这时候平面要把圆錐面萋上儿层。比如說，假若圓錐的展开角等于90°，那平面就要把国维面爽上 四层；这就是說，假若过点O'引射綾O'A2'、O'A'、O'A:分 和0'A1成90°、180°、270°的角，那在把剪开了的不面妻在圆 唯上的时候，角A1'OA2、A3OAg、Ag'0A4'、A4O'A1'当中的任何一角都完全盖滿了国雠的面。全部狂一起，我門就用尊 开了的平面把圓雏赛了四层。平面上的射畿O'A1'、O'A2'、 ⑧'Ag、O'A4'都变成圓雠上的同一条母钱。 但若展开角等于，比方說100°，那剪开了的$面栽会有 三层完全盖滿圓錐面，此外，園雏有一部分还裹上了第四昼、 (本面是由三个用O'做頂点的互相郊接的100°的角和一个 0°的角所組成，100°的角每一个把整个圓雏面表上一层，60°的角又裹上了这面的一部分). 2。维式曲面上的短程钱我們現在来討論不面上一朱 任意直筏。假設直钱”翘过点O'。因而它就是由雨条射， 0D'和O所粗成（图24）。把不面裹在圓维上的时侯（这 ==========第23页========== 最簡鼠的面上的最短， 28 时族点O'落在側雏的頂点O上)，射筏O'D'和O'的每一条 都变成了圓维上的一条母綫。我們的直綫变成了雨条母钱④， 現設直綫”不过点O'(图25)。我捫沿一条和直綫本 行的射殘O'A'把平面剪开，并把剪开了的吓面襄在雏式面 上.这时候直畿'变成了维式面上的某一条綫1（图二6），这条曲綫！啡作圓维面上的短程綫（也呼铡地綫）。直綫？'的每一段都变成曲綫1上的一段弧。反过来，綫的每一设 图24. 图25 图26 弧，在把雏式曲面展开在不面上的时候，父变战了值綫，上的 a 段。 这样得到的曲袋在圓雖面上所起的作用螺旋綫在國柱面上所起的作用相似. 我們現在把雏式曲面上的A、B雨点用这曲面上的切 可能的褮連接起来，并毅它們当中的一条，孤AB,長度最短. ①这雨条母楼可能合井成一条.假若圓锥展开角的度数是180的一个因数：就是孔，假若这角等于180,90”80…一管观等于g,&是整藏，那末这神情形就会发生 离要 ==========第24页========== 24 短 当把维式曲面展开在不面上的时候，孤AB就变成本面上的 孤A'B;由于弧AB是雏式曲面上連接A、B雨点的綫当中最 短的一条，所以A'B是平面上連接A'、B的綫当中最短的一 条。可知A'B是一直綾段.当把雏式曲！面展开在不面上的 时候变成了一直籛段的孤AB,是一条短程綫弧。 我們現在看得出来，短程钱的形状实質上是看圓錐的展开角而不同的。 3。短程畿上的二瑾点我們先引进下面的定义。假轂 沿某一条殺9移动，我們雨次經过同-一点A.这点A就叫作 钱9的二重点④。图27里的点B是 筏（的一个一重点：沿綫順着箭头的 方向移动，我們就雨次經过点B. 定理1若圓锥的展开角大于或等于180°，荆末在它上面的短程钱就沒有二重点。但若圓錐的展开角小于80°，那末所有的短程錢至少有一个●● 二重点、 我們現在来看本面上的-·点O'和不过O'的直畿！（图 28)。若把平面裹在圓錐上，使 得O'落在圓雏的頂点O上，邦 末值織'就变成-一条短程綫飞. 設C是从O'到'上的垂箴 图28. )二里点有时又心作特点， ==========第25页========== 最豳單的面上的最短锁 25 的垂足。在把不面裹在圓维上的时侯，射畿O'G:就变成側雜 的一条母綫OC。C点有时斗作錐式曲面上的短程綫的頂点. 我們用OA来記圓錐的对母綫；OAOC把圓錐的面分成雨 个相等的部分和。把圓錐面沿母畿OA剪开，并且把它 展开在下面上，使得圓錐的頂点O重新变成点O',綫OC重 新变成射綫O'G'。这时猴短程綫重新变成直袋.整个雏 式豳面变成了角A'O'A”。它的雨牛部分S和T变成了这角 的雨华S和T;直畿O'0是这角的本分袋. 我們現在分成雨种情况来討論， 1.角A'O'A(圓錐的展开 角)大于或等于180°（图29）.直綫'完全在这个角的里面假若重新把这个角裹在錐式曲 面上使得角的雨边O'A'和 QA”和母綫OA重合，那末直 图29 钱重新变成了圓錐面上的短程綫；直钱！上不同的点变成了圓錐上不同的点；因此，在这种情形，沒有重点 2.角A'0'A”小于180°.和角的平分綫OG垂直的直藏 ,'交角的雨边于雨点，分别記作B和B”(图28). 三角形B'O'B”是-一个等腰三角形，因为它的高OC就是 它的角的不分綾、我們把角A'O'A”重新裹在錐面上，使得 O变成圓维的頂点，而角的雨边O'A'和OA'变成綫O1. 点B和B”,由于段O'B和O'B”相等，所以落在这条母錢 上的同一点B(图27)。直機'变成了短程钱，直钱包舍 ==========第26页========== 28 最 短 機 花角B'O'B'里的S”这一牛里面的一段B'C变成了餞1在錐 式曲面上S这一华速接B、C雨点的…段弧BC:同理，包含在 角BO'B"里的T这一半里面的-一段B'C”变成了篾1狂錐 式曲面上T这一牛速接B、C雨点的一段孤BC。B点是曲钱 1的一个二重点。直畿1”的-一段BB'变成了弧BCB,形状就 象辄子結成的圈。 我們現在来明：一条短程籛到底有多少个二重点？下面的定理回答了这个問题，这定理是上面一个定理的改进，定理2假定圓錐的展开角等于a(a用度数表示)， 1.若180°不能被所整除，那末短程綾的二重点的数目等于分数的整教部分.●6●高点 2.若180能被a所整除，那未二重的数目等于2.-1.若a>180,那未分数180的整数部分等于0；若a=180,那未”一1=0.因此，根据我們的定理，在这雨种偕形，二重点的数目应骸是0这和上面一个定理前-一部分的意思一样。 孙 还需要討論的是&<180的情形。我們仍旧用上面一个 定理的記号。角A'OA”(图30)是圓维的展开角.过点O'引 直筏'的垂钱O'C和不行綫KL.L分不面成雨个牛不 面。我們只看直綫”所在的这一牛不面。过点O在这尘不 面上引一系列射韆，它們和射钱0'C的交角是的倍数。这 就是射畿O'B、O'B、O'B1'、O'B1”…它們和直綾'分别交 于点B'、B”、B1'、B1"…注意O'B=OB',OB1'=OB1 ==========第27页========== 最筋详的面上的最短機 Y 現在把我們的牛不面襲在國 雖上，使得点O'落在圓雏的 頂点O上，射綫O'0落在母綫 OC上（图31）.我們的牛本 面上夾在相鄰的射时綫O'B1'、 图30 0B、0C,0'B、0B1”…之间的各个角（各等于多）这时侯 把维式曲面的雨华S和T裹上了儿层。就是說，角S?落在 圓维上S这一牛；和它相鄒的角T1'和落在圓雠的另一坐 T,等等.因为射綫O0'落在畿O0上，所 以射畿OB、O'B"落在对母殘OA上，射綫 O'B1'、O'B1"重新落在OO上，等等。 因为道篾段O'B=OB,O'B1'=O'B1, 所以每一对点B和B"、B1'和B11…同落 在一条母筏.上，而且雨两重合：点BB”重 图31. 合而且都落在篾OA的点B上；B1'和B1', 都落在毋筏OC的点B1上，等等。因此，点B、B1…都是直 綫'在把牛不面裹在圓雠上的时候所变成的綫1的二重点. 这种点的数目等于直角区O'C里面的射篾O'B、O'B1'…的 数目.因为这些射辍利0C作城小于90°面是g的倍数的角，所以它們的个数就等于那种小于90而是？的倍数（就是小于180而是a的倍数)的数目的个数。换句話說，假若180不能被a所整除，那末这种射镜的数目等于分数1”的紫数部分.但若180能被a所整除，娜末它們的数H等于10-1.要把这个定理完圣证明，我們还应該指出，短程畿上所有 ==========第28页========== 28 最 短 緩 的二重点正就是从直綫'上的点B;'和B;”重合前得出的绑 种点。 事实上，假若在把牛平面裹在圓錐上的时侯，我們直筏”上的雨个点变成了圓錐上的同-一个点，那末我們就得到了短 程殺1上的一个二重点。这就必須这雨点都：O'同样远，而 且同在”上、这就是，这雨点必須在”上关于C”对称。現 散有雨点，一点我們叫它作F(参看图30)，是在C的左边， 另-一点F是在O的右边.假若点F不是点B'、B'、B1'、B1 …当中的任何-一点，它必然要在角CO'B、CO'B”、B'O'B1'、 B'0B1…当中某-个角的里面，在图30里，这些角我 們用字母S'和T:'分别标出、假若点F'是在角S里面，邢 末和它对称的点F”就在角T:'里面，就是說，把牛平面裹在 圆维上的时侯，若点F?变成半圓錐S上的一点，那点F”就 变成牛圓维T上的一点；反过来，若点'变成牛圆錐T上的 一点，邢点F'就变成牛圓錐S上的一点.无論哪一种情形， F”和F”总变成圓维上雨个不同的点。因此，除了重合的一 对对的点B和B'、B1和B1…所得到的二重点之外，短程 能惠上沒有新的二重点。这祥我們就把这个定理証完了. 現花来討論兩条本行直綫K汇和，'之間的帶形区域.我 鸺建議觳者自己去醉究一下，对于圓维展开角α的各种不闭数值（对于a>180°；a=180°；180°>a>90°；a=z90°；90°α>60°等等)，这帶形区域在園錐面上到底是处在什么样的 情况。 重复上节末尾所作的論証，我們可以断定，糊紧了的排性 ==========第29页========== 最顧单的L的最短綫 28 細綫在圓维面上是取短程綫的位膛. 注在圓錐面上也可以究蝶旋，也就是和國维的所有母錢交成等角？的越(图！32).当x=0°和a=90°的时候，维上的螺旋毯分别川变成母袋和圓截越。当 α≠0的时候，紧旋錢不是圓錐【：内短程龙。 在这一点上，它和圓柱面上的螺衫术同、 图82， 4。关于圆錐上的短程楼的克萊 拉定理殺C是圓錐面上短程钱s的頂点，它和圆錐的頂点的距离是直織段O0=℃，凰錐的軸相距To(图33)。这样， 短程韆在C和母綾OC垂直.父轂A是短程機上的任意 点，T是点A和圓雏的軸的距离，α是短程钱8和母袋OA 的交角，！是直織段：OA的段。我們有关系式 lsin&=C。 (1) 要証明公式(1)，可以把阆维面展开在不面上（图34）。这 时候OC和OA变成O'0和)1'（長度G和这时候保持不 变)，短程畿s的弧A0变成直袋上的緩段A'C",同时O'C和直钱A'C垂直；三角形A'O'O里頂点A的角等于a。从三 角形A'O'C”,我們得到： I sin a=c, 这就是我們所要証明的。 意，假若δ是圓錐的母綫和它的轴之間的交角（参看图33),那末=！in8。用in分乘等式(1)的雨边，得到： ==========第30页========== 30 簑 短 棧 图83 图84. 影gin 8.sin a=c sin& 或 r 8in a=c1, (2) 这里的c1=csin8是短程钱的一个定值.上面的等式证明了下面的命題、 定理3对于维式曲面上的短程畿§上的所有的点，量罗inc是一个定值： rina常数， (3) 这里”是点A到圓錐的軸的距离，Q是母藏OA和短程綫8 的交角。 这定理是克莱拉定理的-一个特殊情形（参看第10节）。圓柱可以看作是圓维的极限情形（圓维的頂跑到无穷远处)。圓錐上的短程綫就相当于圓柱上的螺旋綫。显然，公式 (3)对圓柱仍然保持有效：圓柱上所有的点到軸的距离都是 -一样的，螺旋畿和圓柱母錢之間的交角α对尸螺旋钱上所有的点也完全相同。 ==========第31页========== 最雕的面上的最短钱 31 四球面上的最短綫 1.能的畏度在研究圓杜面和圓雠面上的最短畿的时候，我利用了这样的-一个事实，就是圓柱面和圓錐面可以展开在平面上。但在研究球面上的最短筏的时候，这方法#不适用，球面不能展开在本面上。 我們現在来回忆一下，在初等儿何学里我衲是怎样証明，在所有連接雨定点的畿当中，直殺段有最小的長度。这性：質是从三角形雨边的和大于第三边这一定理推出来的。换句新 殺，根据这一定理，我們可以証明：直綫段AB比所有有同祥 惴点A0=A和A=B的折綫AA1A2…An-1A都要短些 (图35)。事实上，假若用直綫段A042 去代替折綫上相鄰的雨段A0A1和 A1A2,我們只会縮短折錢（因为三角形 AoA1A2里AoA2边小于A0A1和H:A2雨边的和)①。这时候，我們已經用 B=An 折綫AoAg…Aa-1An去代替折綬 图35、 A。A1A2…An-1A,这样就减少了一边。同理，在这条折袋 3 里，相鄰的雨段A0A和A2A3父可以用-一边AoAg去代替，这不会增大折綫的度度。我們得到了折袋A0Aa…An-1An,它的边数又减少了边。这样，我們就可以順水把折酸的边数减 ①假若A、A:、A:是在同一直上，邪末两设AA;和4：A,長的和就等 于AAz这一段的度。因而在用AAa这一设去代替两段dA1和A:Az的时候，我門沒有增大折钱的度度。这一煤和以后的时輪也有关采。 ==========第32页========== 32 最 短 餐 少，一直到把它减少到只有一边一直綫段A。A=AB.在 刑一条折綫来代替另一条折綫的每一过程当中，折袋的長只会减小（有时候这長度保持不变；但它不能作每一过程都保持 不变，因为这只有在所有的点A0、A1…A都在同-一直畿 B上的时侯才可能发生，葡这种情形我群是已經除开了的)。 由此可以推知，最初的那条折綫比直綫段AB要妾。在初等 儿何学里只証明了直綫段AB此所有連接同样端点A和B 的折綫都要短。 要想对速接A、B雨点的任意綫导出类似的秸論，我們必 須先对曲綫的長度下一个精确的定义、在初等几何学里，圓的周長的定义是内接多边形当边数趋于无限而最大边長趋·于0的时候的周長的极限。 同理，我們也可以对任意曲筏的長下定义。假設已經谿定了一条速接A、B丽点的液q(图36)。我們沿这条綫順着 从A到B的方向移动，并頒 B-in次标出(n+1)点：Ao=A,A1, A2…An=B、我們依次用直 A=Ao 图36 綾段把这些点連接起来。于悬 就得到了一条折畿AA1Ag…Am,郎作时接于我們曲殘的折能。我們奥在来作边数无限增多的内接于曲袭q的折钱。间时我們要这样作出这条折筏，使得当它的边数无限增大的时候，它的最大边的長趋于0。可以証明，在这些条件之下，内楼折畿的最会趋于一个极限，就取它来作为曲，的長。 因为直畿段AB比任何速接A、B刚点的折镜的長都要 家女线 ==========第33页========== 最郁單的面上的最短楼 83 短，而連接这雨点的曲綫的長是連接这雨点的折袋的長的极 限，所以可以推知，直筏斐是所有連接A、B的曲綫当中最短 的-一条綫。 2。球面上的最短穖我們現在来寻求球面上的最短 袋。我們注意到，若球面上的雨点A、B不是在同一直径的雨 端，邦过这雨点只能作唯一的一个大側。过同一直徑的雨个揣点却可以引无数多个大圓。后面这一情形我們哲时不来討論：說到球面上的雨点，我們都假定这雨点不是在同一直徑上. 过球面上給定的雨点A和B我們引一个大圆。A、B雨 点（因为它們不是同一条直徑的端点）把大圓分成雨个不相等 的弧。我們用在B記北較小的一个抓。 假設我捫在球面上給定了三点：A、B、C,雨雨用大圓的 弧AB、BC、CA蓮接起来。这三个弧作成了一个所韻球面三 角形ABC;弧AB、BC、CA叫作它的边、 对于球面三角形也有一个和普通（本面）三角形里关于边長的基本定理类似的定理、 定理球面三角形的任一边小于其他两边的和. 我們現在来研究用点O做心的球面上的球面三角形ABC (图37).这三角形的AB边是一个大偶的弧，也就是用O 做心的凰孤；在这圓所在的不面上，弧AB对圓心角AOB。同 理，在BC边和CA边所在的车面上.，这雨个弧分别对圓心 BOC和COA。作为有同样华徑的大圓的弧，边AB、BG、CA 的長是和凰心角AOB、BO0、COA成正比的. ==========第34页========== 34 短 战 我們大圓所在的三个平面作成 一个三面角，它的頂点是O,本面角 是)B、BOO、CO.A.我們的球面 三角形的边度和我們的三面角里相应的平面角成正北.但因花三面角里，每一本面角小于其他雨平面角 图37 的和：所以对于它們成正此的球 面三角形的三边也有类似的不等式。这就証明了我們的定理。 稷骰在球面上給定了一系列的点Ao、A1、A、A8…Am,順次用大圓的胍AoA1、A142、A2A8…An-1Am連接起来。这 些弧合起来作連接A、A,兩点的球面折綫（图38）。 对于不面来說，从三角形任一边小于其他雨边的和，就可以証明 直畿段B短于連接A、B雨点的 折筏。对于球面来說，同样也可以从球面三角形任一边小于其他爾边 =B=An 的和，推出大圓的弧AB小于所有 連接同样雨点的折畿。再有，对于 图38. 球面-也正和对于不面一样，速接A、B雨点的世綫的聂可以从 連接这雨点的球面折綫的長的极限得出。因为大圓的弧AB 短于所有速接A、B雨点的球面折綾，所以它也短于所有蓮接 这雨点的曲钱。 弧AB短于任何連接A、B雨点的折綫这一定理的証明 ==========第35页========== 最前翠的面上的最短筏 防 基本上是重复了不面上关于折綫的类似定弹的証明。現設已經給定了胍4B折綫A0A1A2A3…Am:这里A0=A, A=B. 球面三角形AA1A2里，A小0A2边小于AoA1和A1小2雨 边的和①.我門用弧A42去代替雨边A0A:和A1A2.于是就 得到一条新綫A0A2A…A,它可能比原来的折綫短，而且 少一条边。我們再用一边104：去代替雨边Ao42和44g:經过这步手衡，折餐的長其会减小或持不变。我們再檵徽作类似的变换（將折綫相鄰的雨边用一边去代替）.边的数目每 一减少，折綫的長只会减小或保持不变。这样我刚得到了 边数一条此一条少的連接A、B的折綫，最后怒于得到了只有 一条边的折機，电就是弧AB自已：在这一个过程当中，折機 的長总是减小或保持不变。但折筏的長不可能每步都保特 不变，因为这就是說点A0、A1…A.都在同-一个大圓的弧 AB上，而这种情形我們是已經除开了的。因此，原有折袋 Ao41…An的長大于AB的長. 我們現在来討論A、B雨点是在球的同一直徑的雨端的 情形。在这种情形，有无数多个大圓的弧速楼A、B,并且用 AB作它的直徑。它們全都是一样長。另-方面，所有连接 A、B雨点的其他出綫q都有比大的华周更大的度度.事实 ①假若点A、A和A:在同-一大国上，粥末，假若1A1和A:A2雨边的 和小于牛圆周的話，AA:边就等于这雨边的和，假若这雨边的和大于年圓周的 話，AA2边就小于这雨边的和.因此在用一边AA,代替雨边A和A:A的 树碳，折楼的長总会被小或保持不变，这一点和以后的剂論有关 ==========第36页========== 88 最 短 钱 上，設点C(A、B以外的)在q上，把这綫分成雨条筏(1C)和 (CB).作大圓的牛阔ACB;它由雨段弧AC和OB粗成.这 雨段弧背中任一段都短于球面上速接同样雨点的任何其他曲筏。因为我們的曲袋q不是牛圓，所以它的雨部分(AC)和 (CB)当中至少有一部分不和相应的弧AC或CB重合、由 是，(AC)的長大于AC的度.还有，(OB)的長或大于CB的 長（假若它們兩者井不重合的話）或等于CB的度（假若它 兩者重合的話)。由此可以推出，q的总長大于ACB的長. 对于在直徑两端的雨点A和B,有无数多条速接这雨点 的最短綫；这就是所有速接A、B雨点的大圓的牛周。 3。注假若不政变球面的形状，就是說，假若不政变球面.上的栽的度度，球面是不可能展开在平面【的.但是球面上沿着某一条钱g的极其狹窄的帶形，只要允許这狄窄帶形上的諓的苌度可以有一点輕微的改变的話，却可以展开在平面上.。而在球面上所取的带形越窄，这种長度的政变就越小，就可以越精确地把这帶形展开在平面上。用校限論的話求說，邪就是带形上的钱的長度的改变和带形的寬度比较思来是一个高阶无穷小的量， 若把球面上的一狭窄帶形展开在不面上，那末这带形里的一段大圆的驯就变成一直棧段（逆命题也是对的）. 事实上，球面帶形上的大圓的弧AB是帶形上面速接A、B雨点的 弧当中最短的一条。假若在把帶形展开在面上的时候，A、B雨点分 别变成了A'和B,那末弧A5变成了平面上速接A'和B的弧，而且是琳 近的其他連接这两点的平面上的孤都短；因而A6变成了直段A'B, 推論我們在球面上沿着大圓雨側剪下一条独窄的帶，然后把它再展开在平面上。这帶形就变成平面的矩形長条，大圆变成長 ==========第37页========== 最箱單的面上的最短钱 37 条的中钱。反过来，假若把一平面上的矩形的孜雅長条（帶子）卷在球面上，那末这長条在球面上必沿着大圓爆繞（图39）. 我現在求研究包含小圓（就是球面小：大凰以外的圃)9-…段弧时狭准帶形变成了些什么. 图39 我們先指出下面的事夹、我們用一个和圓雏的轴垂直的平面去截维的面.这下面交圓维的面于圓g.各母越从圓维的頂点O到圓q 的一设都相等（例如在图40里，O1=OB=0C).假若沿母钱OC剪开 维的面井把这面展开在车面上，那圓g变成牛徑等于OC的一个圃g'的一段弧.维的面上用圍9作中綫的狹窄带形接开在平面上成一带形，用弧g作它的中钱（图41）. 图40. 图41. 我們現在间到球面上来（图42）.过小圓1的中心0：和球心0引直徑AB;用AB作直徑作大圓p,交小圓p1于点C.設？是p1的牛狂，R是球的牛徑，a是角O1S0。我們有 0S&=·R ==========第38页========== 38 最 短 錢 过点C引p的切钱CD,和直徑AB的延長越交于点D.我們有：∠D0=∠O1C0=a(因雨角的相应边互相垂道).由三角形(0D,我們有： cosa CD=R eig a=R-/1-c0s2a R 1-(]=・RT 現在把图形繞軸AB轉一周.这时候道錢CD就轉成一维面；匪 )就描成一个华徑的球.这圓维面和球面沿着圓1相切. 圓2.上包舍点C的一段微小的胍 0 C1C2可以看成和切钱上的一段微小餞 段一样①。当这毁弧繞A公轉的时筷， 它就描出一个包含小圓1的球面帶形。这帶形可以肴成和圓雏的器形 一样②，这个圓錐就是哪才所說的沿着圓1和我制的球面相切的一个（圃维面上的这一帶形就是由切钱上我們 認为和弧C192一样的那一段轉成的). 若把这滯形沿C12剪开展开在邓面 图42. 上，那圓：1就变成了一段国腻，它的牛徑等于CD,就是华徑等于 = Rr V13-72. 所以球面上用圓1作中綫的挾窄帶形，也就展开成一个不面.上的帶 @这里所蒲一样是說，把和C,C的長比較超东是高阶无穷小的蟹路去不 之后是一样的。 @这更所謂-一样，也是指和上一个注里同样的意义下說的， ==========第39页========== 平面曲筏和空衢曲楼的儿个性：質以及有关的一些間題 39 形，它圆繞着用？作牛徑的一段弧。 反过来，我們現在要把一个用牛徑6的圓弧作中淺的狭窄的乎雨上的帶形卷在球面上。它一定沿一个小圓襄在球面上。这小圓的牛徑是由下式 Rr 1=/Ra-2 确定的。不难証明， RI 2+g2。 第章 平面曲綫空間曲餞的几个性質以及 有关的一些閻題 五平面曲线的切镂和法變以及有关的一些問題 1。曲钱的切钱設在平面上或空間里有某一曲袋q和9 上面的一点A(图 43)。我們現在来看这条曲袋上面的另一 B 点B.用直綫%速接 B A、B兩点。这直綫 日 含 叫作割錢。把点B 图43. ==========第40页========== 40 短 钱 沿曲綫9移近点A;这时候割綫n就繞着点A轉。这就是說，当点B移动到点B1、B2、Bg…的位置的时侯，割辍也就跟着移到直钱AB1、AB2、ABg…的位置.当点B趋于点 A,割綫%就趋于一个极限位置一趋于某一直籛九o.割袋的这一极限位置一直袋。—一啡作曲羲q在点A的切綫。 我們可以想象一个質点沿着曲镜9运动，它在点A禽开 曲綫。在离开之后，根据慣性，它就开始沿着我們的曲綫在点 A的切猴o运动。 2。法钱我們現在假定曲諓9是在某一平面上的（这样的曲綫叫作不面曲篾)。过点A和f綫g在这一点的切錢o垂直的直籛MN呼作曲镜q在点A的法筏（图44）.· 图 轮 图45. 3。二曲織间的最短距离我們現在来研究只能沿曲筱q移动的一点A;設P是作用在点A的合力（图45）。我們把力P分成丽个分力一切織分力P1(朝着曲錢g在点A的切筏的方向上的)和法羲分力P2(朝着曲綫q在点A的法钱的方向上的)。切筏分力沿曲线q推动点A。因此，若缺少切筏 分力，就是P和P:相合，业就是競，若P朝着曲機9在点4 是、 ==========第41页========== 平面曲镂和空間曲袭的儿个性图以及有关的一些間题 双 的法筏方向，邢卡点A就保持平衡。 再来研究兩条曲綫《和q1;我捫要求出一端A在q上而 另一端B在91上的許多綫当中最短的-一条（图46）。我們假 定出綫9和q红固定不动而且是性的；現作来究一条彈性酸？，它的一端A沿着曲綫q移动，另一端B沿着1移动(可以这样設想，比方說，在点A有一个套在畿g上的小环， 在点B有另外一个套在：上的小环，細綫的雨端分别系在这 丽个环上)。網畿？会尽力紧粮来限得一个使它的長度最小的位櫃。設AaB。就是細綫的这种位置，細綫 B 在这种位置就会保持本衡。显然，AoB是速接上的点Ao和q:上的 g 点Bo的一条直綫段（假若这条钱不是直綫段，那未保持雨端点位置不 图48. 变，这茶綫还可以縮短)。因为在A。B。位置的細錢是不衡的， 所以它的端点A。也-·定在年衡狀态。在点A有一个沿着織 段AB。方向的張力作用着。由上面所推出的曲錢上的点保 持不衡的条件，可知直綫段AB。是筏9在点Ao的法钱.同理可以証明，这条綫段也是殺q:在点B的法袋。因此，連接兩条曲綫上的点的許多綫当中，最短的是这雨●● 集曲綫的公法錢。 同样，速接一点A和曲镜g的筏当中，最短的是曲綫9过 ==========第42页========== 42 最 短 韆 点A的法篾. 。关于反射的間題段g是一固定曲綫。我們現在要剂論連接給定的雨点A和B并且翻綫g有公共交点C心的各种可能曲綫ACB,或者是所器速接A、B雨点的經曲緩q反射的曲綫。 我們来研究雨端A、R团定而上面有一点O沿曲綫g移 动的籼钱ACB(图47). 設AOB是連接A、B雨点的經曲綫g反射的許多綫当中最短的一条(C0是曲錢q上的点)。在ACoB位置的細織是处在不衡狀态的. 显然，最短袋的雨个部分C和CB都是直綫段。粗機 上的点C在曲筏上也处在平衡状态；在这-一点上有雨个力 作用着，就量上来說它膊等于①：朝着筏段0。A的方向的力T1 和朝着钱段C。B的方向的力T'2,它們的合力T。朝着角ACB 的平分綫的方向，由本衡条件，可知 T。是朝着曲袋？ 在点Co的法篾方向的。这就是說： 角ACB的本分綫 是曲筏q在点C 图 4 的法筏。 ④在钱上任何一点的跟力都是一样 ==========第43页========== 华面曲钱利您間曲镂的儿个性貿以及有关的一些問題 43 連接A、B啊点的經曲綫q反射的曲綫当中最短的是折綾ACB,它用曲虥g上这样的点Co做頂点，曲綫在这一点的法袋沿好就是角ACoB的平分綫. 5。域里的最短距离我們現在要研究本面上由某-一条袋所包，圍的区域或者所謂域。域可以是有限的（图48里的域 I)，也可以是尤限的（例如同一图里从平面上除去域工以后 所得的域I)。 我刚要求出在域I里連接这域里的雨点A、B的畿当中 最短的-一条。这条钱AB是「里系在A、B雨点的彈性钿機 的下衡位置，这里域的边界被認为是有圍墙圍了起来的.翘綫可以包含域I的边界q的某些部分。 設8b=AD1B1D2E2…DnnB是袋s当中t最短的一条.它是由边界的儿个部分E1D1、B2D2…EmDn(在图48里n=3)以及整个（除了端点）在I里面的簇AD1、召1D2…EnB所組成。显然，AD1、E1D2…EnB的每一条都是直畿段.边界上屬于$o的部分D1E1、DE2…D,m都是凸向I的这一側。事实上，对于边界q上凸向Ⅱ这一側的每一充分小的部 分CC',弦C0'都在I里面；这弦北 弧CC短；因此，假若s0包含边 界上的这种弧C0',我們用I里面 的弦去代替孤CC',就可以把$縮 短。 这样，最短綫只能包含边界上 图48. ==========第44页========== 44 最 短 機 凸向】这一側的部分。 露于$的組成郑分的綫段AD1、E1Dg…Em-1Da、 EnB分别切曲綫q于点D1、 E1、D2、E2…Da、Em(图48). 图49. 事上，例知在点D1, 細織的兩个部分相遇：…个是镂段AD,一个是曲綫q的一部 分D:1.AD1这-一部分的張力T1朝着钱段D1A的方向（图 49),DE1这一部分的張力T2朝着q在点D1的切綫方向. 假若里1和T的方向之間的交角不等于180°，那末力P1和 T2的合力T就会推动点D1(图49)，就是說，細緩就不能处 在本衡狀态。所以这角一定等于180°，就是說，綫段AD1切 逝綫g于点D. 因此，在域I里連接A、B雨点的最短襞是由切餞段AD、 E1D2…EnB以及边界上某些凸向I这一側的部分DB1、DE2…DnE所粗成、 第10真上在研究多面角的面上的最短袋的时候，关于展开面上直钱所在的位置我門窗經作了一些保留。根据本节所說的材料，以前所加的限制可以除去了. 六平面曲线和空間曲綫論里的几点知識 1。密切1假設耠定-一条平面曲钱q(图60)。在这曲 袋上的点A我們作它的切钱KL和法綫MN;也作各种可能有 . 送浅， ==========第45页========== 平面曲綫和空間曲钱的儿个性質以及有关的-典間題 45 的在点A和直羲K工相切的圓（也 就是在点A和曲綫q有公切韆的圓)；显然这些圓的中心都在法織 MN上. 在所有的这些圆上，有一个种綫q在点A最接近的圓。在我們的图里圓？就是这个圓。这圓斟作密切圓.曲筏q上包舍点A的小弧 图50. BC大致可以看成是密切圓的-一个弧。弧BO越小，我們就可 以更精确地用圓？的孤去代替它。圓？的中心O有时叫作曲 率中心。因此，曲綫9上包舍点A的小弧BC大致可以看成 是用曲幸中心O作圓心的-一个圆孤。 圓心是在圓的雨条华徑的交点上，但因伞徑是图的法綫，所以我們可以說，心是在圍的法綫的交点上。 我們現在来研究一条任意的曲筏9和它上面的一点A以 及包舍这点的一条小弧BC(图 51)。这孤大致可以看成是在 点O的密切圓的一段弧。怎样 B 寻求这圓的中心（曲茶中心）呢？ 图51. 因为我捫把胍BC大致看 成是密切圓的一段弧，所以我們可以說出下面的：率中心的 作图方法。过点A和曲綫9上任意一个和它荒近的点A1引 q的法钱。这雨条法綾交于点O1.假若我們把孤BC看成是 ==========第46页========== 46 最 短 钱 弦切圓的一段弧，根据前面所說，点O1电就是密切圓的中心 (曲牵中心)。 注我們作密切圓心的方法是一个近似的方法。孤BC越小，我 的作法越精确.我們可以对曲钱g在点A的曲率中心下一个（精确 的)定义，那就是点A法袋和A的掷近一点A1的法錢的交点当A1 趋近于A的时候的极限位置.引第二条法能的点11越靠近点A,这礴 条法钱的交点1就越接近极限位置().密切圓可以这样下定义，邢就 是用0作中心、OA作华徑的鳳、 例在图52里，我們用刷方的近似方法作出了橢圆在雨 頂点B和A的曲率中心和密切圓。 2。.空間曲礼前面我們研究了不面上的曲綫。現在我們来研统空閥里的曲钱。我們注意到，的确有不能安放在不面上的曲綫存在。此知螺旋畿就是这种曲綫。 事突上，假定我們在圓柱上給定一条螟旋钱q;假若？可以安放在某一平面？上，那它就是这个不面和圓柱的交裁。这有种可能：或者 平面Q和圆柱的軸相交，或者和圆柱的軸不行。假若平面和圆柱的軸 相交，那它就沿某一閍曲越（沿橢圃，图53）和圓柱面相交，而不是沿一条螺旋筏，因为蝶旋钱不是阴曲线。艾若平面和圓柱的軸平行，那它或 图52. 图3. ==========第47页========== 平面曲楼和宾閒閉曲織的儿个性質以及有关的一些間腰 47 者沿丽条直越和圓柱面相交，或者和圓柱面相切因而有一条公共道芝，或者还可以和圓柱根本不相交.在任何情形，螺旋羲都不可能是平面利圓柱面的交袋. 空間曲袋的切縫也可以如同本面箴的情形一样下定义.設A是空間曲线q上的一点，过点A曲綫在这一点的切綫垂直的一直袋都睥作q在点A的法綫。但在直餐上任 一点在空間里可以作无数多条直綫和它垂直。因此，曲織q在点A的法綫就有 无数多条：它們塡滿了在点A和划錢垂 直的整个本面（图54）. 3。密切车面我們在曲綫9.上取 一点A,又在这一点作-条1畿q相 图54. 切的直綫MN(图55)、假骰41是曲钱上的一点，它和点A 很接近、。空間曲袋g的一段小弧AA1大致可以看成是一条本 面曲殺的弧。过切諓MN和点1所引的平面Q大致可以看 成是我們曲綫上的小弧AA1所在的本面.不面Q叫作曲篾9 在点A的密切平面. 注我捫現在来給密切平面下一个确切的定义.过我們的曲蔑在点A的切綫MN和同一曲蔻上的另一点A1!平面g.設点1沿曲越q移动趋于A点；这时候平面('要莞Mv轉动而趋于一极限平面 .这极限面就叫4作密切不面，假岩点A1非常接近点，那过MN 和点A:的平面Q'就非常接近极限华面Q、因此我們大致可以認为这 种平面Q就是籀切面 4。主法楼曲钱9在点A的无数多条法綫当中，在密 ==========第48页========== 48 最 短 殘 切本面上的一条法筏AT叫作q在 点A的主法（图55）. 假若曲袋q全部在不面又上(就是說，假若9是一条不面曲綫)，那末不面？就是曲綫g上一切点的密纫不面，面？在这平面上的法畿也就是它的主法篾。 图55. 5。空間曲线的密切圆空聞 曲綫9上包含点A的一段小孤可以大致認为是曲綫q在点A的弦切不面上的一条本面孤。但每一条平面孤本身也可以大致認为是密切圓（在这个不面上并和曲錢有公切筏的）的-一段孤。这就是競，曲綫q上包含点A的小弧大致可以看成是密切不面上某一圓的一段弧（图6）。这圓叫作空間曲袋的 切圓。它的中心O在曲綫的主法綾上。因此，平面曲綫和空 間曲綫的一小段可以大致看成是密圓的一段孤。曲羲的孤越小，用密切圓的弧去代替曲幾的弧就越精确。 七曲面龄里的儿点知識 1。曲面的切面和法钱我們現在来看曲面S和它上面 的一点A(图56)；曲面上环橈点A的一小部分可以大致看成 是曲面S在点A的切面Q的-一部分.切面又是这样的一个邛 面，曲面S上过点A的曲筏在点A的袋都在这个不面上。 假若在S上过点A引雨条筏《和91，它們在点A有不相 同的切筏IL1和MM1,那末面就是出直袋LI1和MM1 ==========第49页========== 平面曲钱和間曲，的几个州：貿以及有关的一生間題 49 所决定的不面。 过点A并且和幽面S在 点A的切面Q垂直的直綾蹕 作曲面S在点A的法袋. 豳面的法韆AN是这个 曲面上过点A的一切曲筏的 法筏（一般說来，它不-一定是这些曲筏在这点的主法綫)。 1 例球面在它上面某一点的法畿就是球在这一点的 图56. 中徑。 圓柱面在它上面某一点的法畿就是圓柱在这一点的圓截钱的牛徑 注曲钱不一定在它上面每一点都有切钱、例我們可以取一条折钱；对于折钱，我們就不能确定它頂点的切錢.同样道理，空間曲钱也不一定有密切平面，曲面不一定有切面种法钱，等等。此如圓维面在頂点就没有切面和法綫. 在所有以后的討論里，我們只限于“平滑”曲袋，就是在每一点都有切钱、密切不面、曲率中心的曲綫，和“不滑”曲面，就是在每一点都有法栽的曲面。在曲面，我們只討論本滑”曲趟. 2。点在曲面上保持平衡的条件我們現在来討論一个 只能沿曲面S移动的点A。設P是作用在这点上的合力（图 7)。用P1記力P的切袋分力（那就是在曲面S在点A的切 面Q上的分力)，又用P:記法綫分力，它朝着曲面在点A ==========第50页========== 0 最 短 钱 的法綫方向。切綫分力P1推着 点A沿曲面移湖，因此，要点A在 曲上保特不衡，必須切綫分力 P1是这就是說，力P和它的 法筏分力P相合。所以，要使点 A在慟面：保持军衡，作用在点 A的条个力的合力P必須朝着曲 图7. 面在这点的法袋方向。 3.空闇黑最短袋方面的些間慧武来等求連接雨条空閥曲綫上的点的最短袋， 重复第6节第3段的論証：龙捫可以証明蓮接雨条M錢 上的点的最短綫是它的公法綫的一段。 特别的情形，在空間用雨茶不相交的直綫上的点之間表示最短距离的殘就是它鬥的公垂錢的一段。 最后，同样可以証明，雨个曲面之閥的最短距离就是它們的公法諓的一段、 第三章 短程淺測地綫) 八关于短程綫的的翰·伯努利定理 1。弹性細钱在典面上的平衡設在某一曲面S上給足 了雨点A和B,这雨点可以用出面上的无数多条畿速接起 …5 ==========第51页========== 短程钱（甜地機） 51 来。在这些袋当中已經找到了最短的袋q。我們的任务就是要去所究这条最短袭的性箕. 我树可以想象有一根在曲面上绷翔得很紧的系在A、B雨 点的橡皮筋（图58）。假若这条橡皮筋取最短筏g的形状，那它就是在平衡状态。事实上，假若我鬥多少变质它的形狀，使它璃开了q的位置，邪末我就会把它拉長，而它要尽力縮短，就义会重新回到9的位置。因此，落在最短綫9的位置上 图58. 的細镜是在平衡状态，而且是稳定的平衡. 我們現在就开始研究曲面上單性嬲蓑的不衡状态的箴， 我們先来看-一条圓弧形状的細袋AB(图59)。在我的 細钱上的-一小段弧CD上，受到翻襪上其：余部分的張力的 用；也就是說，細袋的C星部分的張力作用在点C,DB部分的 張力作用在点D。这些張力分别翻着翻綫在℃、D两点的酸 方向。我用P1和P多来記这 雨个張力。就量上来论，力P1 1P2是相等的，否則我翘袋 的D都分就不会保封平衡状 态。我捫現在来求P1P2的 合力. 轂点M是C、D雨的町 畿的交点（力PP2就是这 图9. 雨条切綫方向的)。我們把力 ==========第52页========== 2 最 短 线 P1和P2移到点M。容易看出，合力是朝着圓（細綫AB所在 的)的中心O的。用E記CD的中点。作用在CD上的張力 的合力經过这段孤的中点，并朝着华徑EO的方向.·因为 徑EO是弧AB在点丑的法畿，所以結果我們得到：作用在 圓弧CD上的張力的合力怒过这抓的中点卫，井且朝着圓在 点的法綫方向。 我們現在来討論普逼情形。假設系在A、B雨点的橡皮 筋已經在曲面上翻紧，它的形状和曲綫q相同。 我們在这細钱上挑出一段小弧CD①。在C、D雨点上朝 着q在这雨点的切綫方向的張力P和P2作用在CD上。我 們可以把我們曲钱的一段小孤看成是在这弧的中点E的密 销圓弧。这圓的牛徑0O朝着曲綫q在点E的主法綫方向.作用在圓弧上的張力的合力是順着穿过这弧的中点的牛徑 的，在現在的情形就是順着牛徑O。所以，作用在我侧細镜 的小弧CD上的張力的合力經过弧的中点E,井朝着在点 的主法袋EO的方向. 現在已經不难求出使得細綫处在本衡状态的条件。假若 細钱处在平衡状态，那末它的每一小部分CD也处在平衡状 态。要使CD处在平衡状态，必須这合力朝着湖面的法綫方 向。作用在CD上的張力有朝着綫q的主法袋EO的方向的合力。这就是說，同一直綫EO必須同时是綫g在点 的主法綫和曲面S在这一点的法綫。 ①因为CD很小，我鬥可以把它看作一个团弧，因而可以利H图9. . ==========第53页========== 短程棧（地钱） 53 現在我們得H定理：要想在曲面S上翻紧了的橡皮筋？ 处在平衡状态，必须在它上面的任意，点A的主法綫和曲面 的法綫相合。 2.短程钱假若在曲面S上的錢9上的每一点，9的 主法袋利和面S的法袋相合，？叫作睡面S上的短程綫 短程镂也可以这样下定义：它是曲面上这样的曲綫，在它上面每一点的密切不面必过曲面在这一点的法餐。事实上，設1是面面S上的一条曲綫q上的一点.面在点A的法筏同时也是曲袋q在这点的法綫：假若这条法綫是在曲綫 9在点A的密切平面上，它也就是主法袋. 上面所証明的定理可以叙逃成： 紧棚在曲面上的細筏若是在这个曲面的-一条短程綫上，它必处在平衡狀态。 例1绷紧在圓柱面上的細筏，如我們上面所証，是沿着螺旋筏的。因此，螺旋綫就是圓柱面上的短程綫。螺旋綫的主法綾和圆柱面的法篾相合，而圓柱面的法袋叉是圓截筏的华徑、所以，螺旋綫的主法籛是圓截綫的牛徑. 例2我們現在来研究，在什么样的情形之下，$面曲畿 9可以是某一曲面S的短程綫。用Q記綫《所在的下面、对 于不面曲綫9設来，在它上面任何一点的密切不面也就是不 前父。 由短程綫的第二定义，假若9是短程綫，邪末曲面S在1 钱q上各点的法綫必然在q的密切本面上，那就是說，曲面S在曲钱q上各点的法钱必然在不面Q上， ==========第54页========== 54 最 短 镜 例3我們現在考虑球面。用过球心的一个平面？截这面。我們就得到了球面上的所謂大圓。大圃是球面上的短程錢， 事笑上，球面作大圆上各点的法袋是球的华徑。在大圓上各点的华徑是在这所在的平面上的。我有了一个曲面上的不面曲袋的例子，曲面在这袋上各点的法餞都在这曲筏所在的平面上、而我涮才証明过，这样的平面谁钱是短程袋。 假若我們用一个不过球心的平面1截球面，我糊就得到球面七的一个小圓。因为球面在小圓上各点的法綫（就是球的牛徑)不在小圆所在的不面上，所以小側不是球面的短程熊。 順着大圓弧翻紧的橡皮筋是处在华衡状态的。但若它是沿着小圆弧翻紧，那它就要从上面滑下来，因为它在这上面不是处在车衡状态 約翰·伯努利定理連接曲面1雨点的部多袋中，最短的是短程綫弧. 我們已錾有了伯努利定理的証明。事实上，我們方已經証明了，一条曲袭，假若橡皮筋在通面上沿着它糊起来是处在不衡状态，那它就是一条短程綫，另一方面，我們知道， 曲面上系在A、B雨点的橡皮筋，著它是在速接这雨点的最短 綾的位置上，那它就处在不衡狀态。 注过球面上雨点A、B作大圓g·点A和B把这大圓分减雨个 弧（图60）：弧MB和弧1NB。这雨个弧都是連接A、B雨点的短移 ==========第55页========== 短程（俐地棧） 5 能.没弧5MB比弧ANB短.显然 8 这候4MB是球面上連接4、B 点的最短弧，而弧NB虽然也是一 茶碑战，毕瓷不是i【:渊接A、 B丽点的最短弧。球面上着这南 个顶当中任一个弧绷紧的豫皮筋都处在不衡状态.但超当沿弧1翔紧的时疾是处在悬定平衡 图60 的状态，翻楼沿调4VB棚紧的时候是处在不穩定本衡的状态、假若 我把钿钱从入的位置拉到变成曲毯N1B的形状（图60），N1B 和ANB相接近，但比较短些，那细棧就要离开1NB的位置順着曲面 上滑过， 这样，我捫看到，短程钱这一性質是似钱变成最短的必要杀件，但不是分条件。 然可以証明，短程越充分的一投孤总是最短的 短程莪可以这样下定是义：它是这样的一条越，在这条筏上充分小的段都是最短线。 》 3。短程镂的“作图”我們用刀日沿某一曲面上輕輕划过；在每 一避間，刀口和曲面在某一点4相切（图61）。同时，我刚这样來拿刀， 使曲面在它和刀口接触点的法餞总通过刀面。这时候刀在曲面S_上所 划出的曲筏q就是一条短程錢。实际上，我們現在来看刀所划出的曲钱q上的小弧B少和它上面的一点A.我們大致可以認为孤BU是在当刀口和曲面在点1相翊的挪一瞬間的刀面上。这样，在刀口和曲面在点1接触的那一瞬間的刀面，就是曲钱4在点4的密切平面。但我們从前面已經道，假若 假61 ==========第56页========== 58 短 棧 曲毯的密切面总是过曲面的法棧，q就是短程嶘.因此，曲棧9是我們曲面的短程棧 对于任意一曲面，我們还可以研究一个問題：要把曲面上剪下来的狄窄带形展开在平面上，还有，及过来，要把平面帶形集在曲面上。必須更确切地下定义，說明我們是怎样理解这些話的。 散在曲面.上給定一曲毯g.我門用一殃窄帶形把它图起来（图62）. 一骰殺来，我們不一定能把这帶形展开在不面.上使得这帶形上的曲越在度度上没有一些政变.但帶形越窄， 图62. 这种政变相对地就越小① 假若我們把曲面上的浹窄帶形展开在华面上，帶形上連接兩定点的最短钱就变成了平面带形上有类似性質的一条孤，也就是变成值能段.反过来，裹在曲面上的面带形上的直毯段变成了曲面上的最短钱，就是变成短程钱。因此，包圃滇棧段的狹窄帶形（寬比萇小得非常多的蒂子)是这样裹在曲面上，它使得直钱段变成短程镂弧。我們的窄帶子是沿着一条短程钱落在曲面上的、丙此，裹在曲面上的殃良游子可以鞲成曲面上的短程钱的一种念， 九关于短程缕的补充說明 1。对称车面現在我們来举一些短程綫的例子。我醐 光提醒讀者一个定义：若雨点A和'是作面Q的兩側，在 的同一条垂袋上，并且它們到平面Q的距离相等，那末点A和 点4'斟作关于车面Q对称（图63）. ①用极限論的話来說，那就是曲棧良度的政变在和牌形的質度比較超来，是一个高阶无穷小量。 ==========第57页========== 数程钱.地 图83. 图84. 若图形g的每一点A都对应了图形g上和它关于平面Q对称的一点，反过来也是这样，那末图形g和图形g叫作关于 平面Q对称（图64）. 若平面Q把曲面S分成雨部分，而这雨部分父是关于 对称的，那末不面®叫作曲面S的对称不面. 例就球面来說，通过球心的任何一个平面都是球面的对称不面、 就圓錐面和圓柱面来說，通过它們的轴的任何-一个平面都是对称卒面。 对于有限的圓柱面来，和轴垂直把圆柱的高度平分的本面是对称平面。 对于无限的個柱面（就是說，它的母籛是无限長的直袋）来設，任意一个和軸垂直的本面都是对称平 定理骰曲面9有对称面Q,Q和$交广镜9，那末織 9是曲面的短程④。●● ①注意，我們只衬验平滑的曲西、 ==========第58页========== 58 短 按假設，綫g是东不面Q.上的。如果在不面曲錢q（兒前 一节的例2)上的任一点，曲面S的法袋都是控：平面Q上，那 末曲袋q就是曲面S的短程綫。 骰点A是曲綫9上的任意一点 (图65).我們来証胡曲面S在点A的 法綫是布下面？上。我們先反过来假 設：面S在点A的法袋AB不在本 面？上.把AB关于Q对称的直護記 作AB'。因为AB自己不在S面Q上， 图65. 所以AB和AB不重合.但平面Q是 曲面S的对称邓面，井且果AB是S在点A的法畿，那末 它对称的直錢AB也是S在点A的法袋。这样一来，曲面S 在点A便有了雨条法綫，这是不可能的。我們得到了矛盾； 这就証明了S在任一点A的法袋都在平面Q上。我們的定理 就完全証明了. 2。明短程镂如果把橡皮圈在曲面S上糊紧，并使得 这个橡皮圈处在不衡状态，邢它的形狀就会是某一条閉曲钱9。这条曲綫9是短程羲，井且还是開的。比如，当豫皮在球面上取大通的形状的时侯，它会处在下衡状态。球面上的大圓，以及回轉橢圓面上作为子午袋的橢圓都是阴短程錢（关于回轉曲面，見第10节). 如果阴曲面$有某些对称下面，那末（由上面所証明的定鲤)每一个对称平面和曲面相交于一条閉短程綫。 有三个不同長短的轴AA'、BB'、CC”的橢圓面（图66） ==========第59页========== 短程，（硎地钱） 50 有三个对称不面，每一个不面通过騰鬨面的雨条轴，这三个不面橢圓面相交所得的三个橢圓 E1、E2、乃3是閉短程綫. 可以証明，在-一切閉曲面上，至少有三条閉短程錢。 3、赫兹原理在不面上依 图66. 槓性葡运动的点，是沿直綫运动的（牛頓第一定律）。 而在曲面上运的点，如果沒有受到外力作用，必定沿着短程羲运动、 这就是赫兹原理。例如，在球面上运动的点，知果沒有受到外力作用，必定沿大圓运动，在面上却沿着螺旋綫运动。 实际上，沿曲钱？运动着的点，它的榭速度可以分獬成切镬的（朝着曲钱？的切錢方向的）和法袋的（朝着曲綫g的：法殺方向的)加速度。但果点沿着面S上的曲綫q运动的时候沒有受到外力作用，那在这个点上作用的只是曲面的反作用力：而曲面的反作用力是朝着曲面的法綫方向的。既然作用力的方向和加速度的方向一致，邢末在每一时刻，点的加速度方向-一定和曲面的法袋方向相合。曲面在綫q某点的法綫和綫9在这-一点的切淺垂直。既然加速度是朝着曲面法綫的方向，也就是說：和曲綫q的切綫垂直，挪未綫排速度-一定等于容。因此，我們的点只有法綫加速度，它朝着q的主法袋的方向。加速度的方向同时是圃袭q的主法餐方向 ==========第60页========== 60 最 短 襪 和逝面S的法綫方向。这就表示說，在綫《上的每一点，这 雨个方向相合，由此可知，曲筏q是曲面S上的短程袋 4。有棱曲面上的短程镂我們現在来看一个由雨个平滑陆面⊙1和S2沿着曲筏s拼成的曲面S,綫s叫作曲面S 的棱（二面角的面可以作为这种曲面的例子）、設在曲面S上 取雨点A种B,-一点在S1,一点在S2上（图67），設90= ACB是躍性細綫在曲面S上平衡时筷的位置.这里，点C是 在楼s上的，而曲篾qo的弧ACCB分别落在S1和S2上. 显然4C是S1上的短程畿，CB是S2上的短程綫。我們用 第8节所用的方法来求出在轉折点C平衡的条件。曲籛9。 是系牢在点A和B的柔韌甜綫在曲！面S.上本衡时候的位 置。 用表示弧AC和楼8的C0”邪一段所夾的角，用B表 示棱的CC被和弧CB的夹角（就是指它們切綫的水角）。作 用在C点上的有这样一些張力：朝着狐CA的切綾方向的P1, 和朝着弧CB的切餐方向的P。这雨个力大小相等，都等于 T。这雨个力在棱s在点C的切綫工L】上的射影分别等于 S S, 图67. ==========第61页========== 短程棧（删地德到 BI Tc09和T'C0sB,而方向相反.本衡的条件 T cos a=T cos B 使我們得到 a=8. (1) 这就是說，在轉折点，棱s和弧A0的來角等于棱s和弧 CB的爽角. 很自然地，我們把曲筏qo叫作曲面S上的短程絞. 若曲面S是由儿块本滑的部分粗成，划分这些部分的是 棱$1、$2…5Sw,挪未在这样的曲面上，短程棧（彈性細綫不衡 时候的畿)是由糊紧在棱$1、82…S的一些短程綫孤所粗成。 而在每个衔接点滿足条件(1)。 在曲面S上的最短綫是短程綫。第1节里所講的关于在 多面角的面上最短綫的性質是有棱曲面上短程綫（和最短機）性質的特别情形。 上面所說的关手在这样的曲面上的短程綫的性質也可以从赫茲原理推出。 月轉曲面上的短程镂 1。回鞟曲面我榯把平面曲綾g繞着和q在同一不面 上的直綫AB回轉（图68）。橈着AB轉9的时候，生了 一个曲面S,叫啡作回轉曲面。任何一个通过回棘轴AB的不面 Q,和S相交于一对綫9和g.这种餞叫作子午綫。它們是由曲袋《繞着问轉軸回轉一个适当的角度而得到的.每一 个和回轉轴垂直的不面和曲面S相交于-·个圓，啡作平行 ==========第62页========== 62 最 短 钱 圓。 定理1、回轉曲面1上所有的子午筏都是短程綬。 我来看通过轴AB的面父和 轉曲面相交所得的子午袋y和q。平面 Q是回轉面S的对称：乐丽，因此，它利和 B 曲面S相交于短程。于是，《刚是 图68. 短程铠。 例把橢圃E繞着它的軸回轉（图69）。我捫得到所解 回轉橢圓面。它的子午筏是和乃相等的橢圓。这些橢圓是短程筏附注在圓柱面上，所有的不行圓都是短程綫；在球面上的平行圓当中只有赤道是短程筏；在圆錐面上，沒有一个本行圓是短程袋 69 2。克莱拉定理考虑在回轉出面号的勉程楼9。設 A是短程镂q上的任意一点，是这一点到呵轉軸的距离（纸行圓华徑)，a是短程綫9和过点A的子年能之間的交角。定理2（克萊拉）在短程袋？.上的每-点：Ysin的镇是常数： r sin a=C=常数. (1) 若用B表示短程綫和不行國之間的交角、那未公式(1 可以写成 Tc08B:常数. ==========第63页========== 短程（斑地機） 63 克萊拉定理对于圓雏面和圓柱面的特殊情形，我們已辎証明过了（見第3节第4段）. 我們来看折筏AoA1…An橈着軸L回轉所产生的曲面 S,曲面Sn由几个面$1、s2…8m粗成，它們分别是由回轉各边A0A1、1A2…Am-1An而产生的、这些曲面被一些由平行圓1、t2…tn-1所粗成的“棱’所分开，这些本行圓是由折綫 的頂点A1、A2…A-1回轉所产生的圓. 再来看曲面Sm上的雨点AB,#把它們用短程綫q联秸起来。由第9节第4段里所証明的，短程綫qo是由在截头圓维面或圓杜面$1、$2…sn上的短程綫胍在棱t1、t2…t4-1上衡接而粗成的，而互相衡接的短程畿弧和“棱”的交角是雨雨相等的。当沿着9。运动的时侠，曲綫9o和不行圓的交年3連領地变动而沒有閒断（本来只有在不行圓变成一条“棱”的邢个时刻，这个角度的变动可能发生不速衡的間断·但根据我、們前面所說的，这地不会发生)，因此，”C0sB的值也連續地变动，沒有間断 檢查一下当我們沿着q移动的时候，rCos乃的值怎样变 动。当我們在围面S、S1…S当中的一个【面运动的时候， 式？CosB保持不变（由我捫已經証明的克萊拉定理的特别情形知道)。当通过“棱”t红、…t。-1背中的一个的时候， TosB的值也不会有間断.这就表示它沿着整个曲綫qo都取常数值。这样，对于短程綫上的所有的点来說，都有关 系式 Tc03B=常数. ==========第64页========== 棧 任意的平面綫，可以看作内接多边形m当边数m无限燴多而最畏边的長度趋于雾的时候的极限。把m繞着某 个軸问轉所得到的回轉山面S,是把2繞着同-一个軸回轉 所产生的l面S的极限.对于曲面S上的最短綫来說，克 香 萊拉定成立、由此我們得到結論說，对于曲面S上的最短 綫，克萊拉定理也成立。 ==========第65页========== 第二講 第四章 和紧張細钱的位能有关的問题 袋的不政变長度的运动 1。柔知钱的位能我們要認为柔韌勰織在它所有的点都有相等的張力，并且当细畿的畏度改变的时筷，这个張力保持不变。我們来求細綫的位能。 骰q=ABC是一条平滑曲織，長度是B,由長16的弧AB和是(1一o)的弧b0所纽成（图70）.設占有位置AB的細栽婉蜓着沿曲錢q伸長到占有位置A,这时候点A固定不勒，而点B描出了長度是(？-1o)的孤BC.考虑張力所作的功。 在点B的張力所作的 E'E 功等于T(L-)。 在曲镜9的小段弧 图70. ”上作用的張力所作的功等于容。实际上，这些力的合力朝着曲綫q的法毅方向，但是班'E”是沿着曲綫q滑动的。这样說来，在我們粗綫的运动里，張力总共所作的功，就 归结成作用在端点B的力所作的功，就是說，等于 T(-)=ルー 「85) ==========第66页========== 66 最 短 , 段当細袋占有位置AB的时候它的位能等于V,而当它 占有位置ABC的时候，位能等于V.位能的燴量V-V。等 于所作的功，就是說 V-V。=Tl-Tlo, 或 V--1l=Vo-Tlo. (1) 我鬥認为，当袋的長度趋子0的时候，位能趋于0；当。→0的时侯，因此有V。→0，这就是說，(V。-T。)→0。o→0的时侯把等式(1)的右方过渡到极限，我們得到： V--Tl=0, 由这里就得到 V=Tl （2) 柔颗钿栽的位能等于它的長度乘張力。 推論、若細簑移动时張力所作的功等于0，那細钱的長度没有变动。事实上，在这个条件之下，位能不变，因为位能是和長度成正此的。 注意，若直筏段AB移动的时候仍旧是直綫，那末張力总 其所作的功就归桔成在这个綫段端点的張力所作的功. 保持折綫ACB形狀的細筏，它的張力总共所作的功跳归 結战在折袋端点A、B以及顶点C的張力所作的功. 2.平行曲秽两条有公法綫的曲筏叫作下行曲綫。最簡單的本行曲殺就是平行直袋和同心图。 定理！來在不行曲棱g利？之周的各公法筏筱段，有相等的最度、 設筏q和q1的公法钱AB从位置ABo移动到位還 A1B1,并且在每一时刻始愁是它們的公法酸（图71）. ==========第67页========== 和紧張細筏的位能有关的間題 67 在这个移动中，張力所作功等于0、事实上，在端点A 的張力病着曲筏法綫的方向，因此，当这个端点沿着曲綫9移动的时候，張力所作的功等于0。同样，在沿 B 着曲綫91移动的端点 0 B,力所作的功也等 于0、因此，在我們的公法畿的穆勒中，張力 B 所作的功等子0。由上 图71. 面所說的推論，这时候公法綫的長度1不变： (AoBo)=1(A1BI). 3。稀園和抛物钱的法穫雨个定点亚！1的距离 的和等于常数的点B的顿迹叫作橢圓： FB+F:B=2a (3) （a是常数). 点F和F1叫作橢圓的焦点，綫段FBF1B作矢經。 ◆ 定理2椭圓在它任意一点B的法綫必定是天徑浙爽角 FBF1的平分镂BD(图72). 事实上，設把形状如折 綫FBF1的躐性細綫系牢在 点？和P1;若使点B沿着 橢圓运动来移动这条折綫，那末（由(3）)它的長度不 图72. 变。因此，在任何时刻，張力 ==========第68页========== 68 晏 短 所作的功等子0。力所作的 8 功可以归秸到在点B作用的力 所作的功。在这一点作用的是雨个相等的張力，方向分别是 BF和BF1.它們的合力P是 朝着角FBF1的平分畿B.D的 方向的。既然当点B沿着橢圓 运动的时侯P所作的功始終 图73. 等于0，那末P在每一个时刻 都一定朝着椭圆法钱的方向。因此，橢圓在它的任意一点B 的法能和角FBT1的平分钱重合. 距定点F和定直綫d等距离的点B的軌迹y作抛物綫： FB=BC (4) (BC是从点B所引直镬d的垂镂綫段（图73）)。点P叫作抛物钱的焦点，直筏d叫作它的准綫，通过焦点和d垂直的直錢工L郎作抛物緩的軸.引直袋d1和d平行，使得焦点F和准钱都在d1的同一側。用，表示不行直綫和d1的距离.通过抛物綫上的点B引直韆d和d1的公垂錢CC1(C'C1和轴 工L举行)。我們有： CC1=CB+BC1=a, 这里&是常数，等于不行直袋d和d1之間的距离。由(4)， FB+BC1-a, (5) 現在不难証明下面的命题。 定理3·抛物栽在它任意，点B的法餐必定不分矢徑 ==========第69页========== 和案袋细楼的位能有关的题 69 FB和本行于轴LI的道綫BC1之間所夾的角FBC1. 我调来看一条形狀如折羲？BC的細羲，它的一端系牢 在点F,另一端C1在道籛d1上滑动，使得BC1保持和d1垂 直，而点B在抛物战上滑动。 可以从式(5)看出，这条袋的長度探持不变，因此，張力 总共所作的功等于0。这个功等于在点C1和点B的張力所作 功的和。在点C1的服力所作的功等·子0，因为这个力的方向 (沿着綾段BC)和直袋d:垂直，而点C沿着直袋d1运动. 这就表示箴，在点B的張力所作的功也等于0。再重复一水 关于橢圓的情形所作的論証，就完成了定理的缸明四。 黛 注由定理3可以推抛物錢法钱的作法。在轴L汇上 截取長度等于地物綫失徑FB的袋段FD。直袋B)是掘物 幾的法殺。 事实上，在图73里，∠1和∠3是乎行钱LL和CC被割 钱BD所截而得的内錯角，因而相等因为三角形FBD是等 腰的，所以∠3和∠2相等。从这里我鬥得到：∠2=∠1，也 梵是說，BD是角FBC1的不分袋；因此，由定理3，BD是抛 物機在点B的法綫. 4.短程切钱和短程法钱若短程綫弧AB在曲面上移 动，那只有作用在呱雨端点A和B的膜力作了功。实际上， 作用在弧AB上狂何一小部分的葭力的合力是朝着曲的法 ④⑩实际上我啊只对于在直袋山：左侧的抛物餐上的点缸明了这个理.是因为这条直钱（风的下行綫）的位蹬是任意的，所以定理对于抛物筏正的所有 的点都成立， . ==========第70页========== 70 最 短 钱 綫方向的，因此，弧在曲面上运动的时候，它所作的功等于0、 若曲面上的曲袋q在它上面的点B和短程綫？有公切 殺，那短程襞T叫作曲綫q在点B的短程切綫；若曲綫q在点B和短程镜s正交，那s啤作曲钱q在点B的短程法钱（图74）。 关于公法緘的定理1可以推广到短程法緩。 图74. 定理↓設二曲袋9和9虹在曲面 上处处都共有短程法後。那各条公共短程法镘夹在g和9红之間的一段有相同的長度（图75）。 削球面上，夹在雨个本行圓之間的子午镂錢段有相同的聂度. 重复定理1的証明就可以钲明定理4。 5。短程在通过曲面 图75. 上点A的一切可能的短程钱上截取等長的弧AB。端点B的 軌迹叫作短程圆；短程綫孤AB叫作短程华徑（图76）. 每，条短程牛經AB都是短程 圓在点B的短程法綬。 。 設彈性細綫AB的揣点A固 定，并且有短程牛徑的形狀，移勤AB使得端点B描出短程圆q。既 图76. 然短程襞孤AB的長度不变，張力 小杂接露 ==========第71页========== 和紧張細機的位能有关的間题 71 所作的功就等于0。这个功归結成在端点的張力所作的 功。因此，在点B的張力所作的功总是等于0。張力一定朝 着曲綫q的法钱方向。面在点B的張力的方向又是和短程牛 徑AB相切的，这样我羽的定理就証明了. 漸屈綫和漸伸綫 找删現在来看一条不面曲钱q,考虑从这条曲钱的各个点所法线所形成的直綫族，以及这些法钱的包貉s(就是說，这些法钱相奶的曲袋s)。包絡8叫作曲钱g的漸届镂，面和渐屈线8所有的切綫正交的睡线q,畔作曲钱8的渐伸我（图77）. 渐屈筏的每一点B是漸 仲袋的法钱AB和无限鄰近 的法蔑A'B的交点，地就是 說，点B是曲綫q在点A的曲率中心（見第6节）。曲袋 图77. q的渐庙钱§可以这样下定义，它是这条脚辍的曲率中心的藕迹。 骰琿性細緩的形狀如曲钱？，由渐伸錢的法袋綫段AB和 渐屈織8的弧BD所組成（見图77）。若沿着这条曲綫从A运 动到D,在点B从直綾段AB到弧BD的过渡是下滑的。因 此，琿性钿綫取=ABD的位置的时候，是处在平衡状态的. 我們来移动細钱？，使得端点A沿着渐绅畿运动，而点B沿着 ==========第72页========== 72 最 短 钱 潮綫运动；这时候.AB总处在撕伸綫的法綫的位置，面翘袋 剩下的部分BD紧贴着曲錢s.作用在法綫AB上各点的張 力，总共所作的功等于它們在点A和B所作的功。但是，因 为在点A的張力朝着曲綫g的法筏方向，而点A在曲綫q上 滑动，所以張力在点A所作的功等于0。作用在点B的張力 是抵消了的，在任何一个时刻它所作的功等于0。最后，在所 考虑的时刻，在釉钱？的还沒有运动的部分BD上張力所作 的功艳等于0。因此，在每一个时刻，張力所作的功都等子0。 在我判的运动过程中，細袭？的位能保特不变，可知細线T的 長度也保持不变。 若ABD是細袋？起初的位置，而綾段CD是它最后的位 醒，那末ABD的長度等于CD的長度： (ABD)=(CD). 但 (ABD)=(AB)(BD), 或 (CD)=1(AB)+1(BD), 由这里可知 {(BD)=1(CD)-L(AB). 这样我們就証明了下面的定理。 定理若从渐伸籛上的雨点A和C引法镬AB和CD到 它們利和潮届綫相的点B和D,那末这雨条法餐钱段長度的 差等于它們中間所夾的一段渐屈綫弧BD的長度. 若对于曲面上的曲綬g作它的所有短程法錢所形成的曲襞族（图78），那末这一族短程法钱的包貉s叫作畿q的短程渐屈綫，面曲錢9即作钱8的短程漸伸綫。如果在上面的定理里把法筏”、“新屈能”、“渐伸钱”等字样了屏作短程浅 ==========第73页========== 和紧长甜钱的位能有关的题 73 貜、短程渐届錢和短程漸伸畿，那末这个定理依旧成立。藏者不难看出，在这种情形之下，可以和以前一样地去証明、 图78。 三 弹性翩钱系毓的平衡問题 1。·狄利精萊原强就力学系統来静，位能极小的位置是不衡位醒。事实上，假知一个靜让的力学系統从它的位能 般小的位置S移动到别的位置，那它的位能只可能增抓；由能 量守恆原理，可知它的动能只可能减少。因此，如果在位澄8,系統是处往靜止状态，也就是設，动能的值等于0，那末把这个系統移动的时候，不可能得到正值的劲能，也就是說，不可能开始运劲。 例性細钱的位能和它的長度成正比。因此，当它的最度最小的时候，是处在平衡的狀态。我們會經不北一次地利用了这个事实。 以下我們列举雨个問題，关于寻求由儿条網綫所翘成的系統的不衡位置（下面第二个閻题对以后是重要的）.2。关于長度的和極小的間題在本面上裕定了儿个点 B1、B…B。求一点A,使得从它到給定各点的距离的和最 ==========第74页========== 74 最 短 钱 小.考虑%条彈性細綫AB1、 AB2…AB,它鬥有一个端点 EA是公共的（例如，把細綫在点 A互相联粘起来)，把另外一端 系在点B1、B2…Bm。这个细 钱系統的位能和各钿钱AB1、 民 AB2…ABn的長度的和成正 图79. 此。細綫長度的和极小，也就 是位能极小，这时候系統应該处在本衡位置。处在这样位置的时侯，每一条細钱都变成直綾段，而这些钱段妄度的和又是 最小。戳A,是系統处在这样的平衡状态的时候点A所占的 位置（图9）、作用在A。的有%个相等的張力，作用的方向 沿着A。B、AoB…AoB。这n个力互相抵消。因此，在距点BB…Bm的距离的和是最小的点A0,沿着方向AB1、 AgB2…A如Ba作用的n个相等的張力的合力等于C四. 可以用机械方法来实际找出这样的点A:在水平薄板上 的点B1、B2…B,鑽m个小孔（图80）；把%条繩子的-一端互相联结成一点放狂薄板上，另一端各穿过一个小孔伸到薄板 ①魏果德斯基指出，这个命題应該說得更确些扌对.若使得長度AB、 B…ABn的和最小的点A,和B1、B。…Bn当中的任何一点不重合，那末这个命題是健的、 例知，在三点B:、B2、B3的情形，若三角形B1B:B3的三个角都不大于 120°，邪未点A在三角形里面.但若三个角当中有一个，比和說在頂点B:的 角，大于或等于120°，那点A就和这个頂点围合. ==========第75页========== 和紧張翻錢的位能有关的間題 75 下，并各系上重量相等的砝碼。放手讓我們这个由稠子和砝碼組成的系統自动地停北在不衡狀态，这时侯%条繩子的那 个公共端点所占的位置就是所寻求的点A。事实上，在这-一 点作用的是饥条霜子的相等的張力，力的作用方向朝着那些小孔B1、B…Bm(每一个張力都等于繩子下端所系砝碼的重量)。这个力互相抵消. 中 图80. 下面的問題可以归結成我們上面所說的問题：設有%个 地点B1、B、…B;要在某点A建造-一个仓康，并从仓庫筑 值緩道路AB1、AB2·AB。寻求建造仓庫最有利的位霞， 使得道路AB1、AB2…AB.的長度的和最小. 有时也可以把問题变得更复杂些：設由仓康A到B1、 Bg…B各点的貨物流量分别和q1、q2…9n成正比。要选 撰点A的位置；使得和式 S=91ABI+924B2+....+qnABn 最小（也就是說，沿着道路AB1、AB2…ABn运输貨物的吨一公里总数最小)。 ==========第76页========== 76 最 短 筏 这个問题可以和前面的周题同样来求解（前面所說的是当q1=2=…三qu的时候的特别情形)。%条細綫AB1、AB2…ABm有公共端点A,另一揣分别系华在点B1、B2… B,現在要寻求这一个系統的平衡位筐。但这里的細钱AB1、 B2…ABm有不同的張力，分别和数91、92…gm成正比，設分别是91T、92T…qnT。細钱AB1、AB2…AB的位能分别等于q1TAB1、92TABa…gnT ABn。这个系統的总位能等于 V=T(9ABI+924B2+.....+gnABn)=TS. (1) V最小时侯的位置，也就是說和式S最小时侯的位置，是这 个系統的平衡位置。这时猴，每一条織AB:(i=1、2…%)都 成了直镜段。这些翘线的公共点A=A。就在个張力的作 用下处狂本衡狀态，这咒个張力的方向沿着羲段AB1、AB2 …ABm,大小和数91、92…9n成正比。 上面所說求点4。的机被方法仍们有效；但是系在穿过 B1、B2…B各小孔的繩子末端的重量应当和数q1、92…9m成正比。 3.雨条細畿所粗成的系铳的一个平衡閤題我們来看 一条形状摊曲镜q=ACB(图81)的柔韌而非均匀的細綫，它 的爾个端点A和B固定，点C在曲酸$上滑动，而在細綫的 AC都分力等于T1,在CB部分張力等于T、細栽的位能 /()等于 V(q)=V(AC)+V(OB). 抽 V(AC)=T(AC), ==========第77页========== 和案張知镂的位能有关的問 7 V(CB)=Tl(CB), 我們有 (q)=P1(AC)+(CB). (2) 設細钱q在位置g的时候有最小的位能。由狄利赫萊原理，細綫在位霞9。的时候是处在本 B 衡状态。設C。是9a和 Dcosa 。的交点。 C 不难推出，曲钱90上的部分ACo和CQB都是直機段。瑰在来看 在点C。的不衡的条件。 图81. 作用在这一点的張力是：方向沿着CA、大小等于T1的 力P1,和方向沿着CoB、大小等于T2的力P2.引曲虥s在点 C0的切綫LL1.用下列的記号記角度： ∠ACL=a, ∠L1C0B=B. (3) 力P1在切織方向的分力等于P1c0sa=T1co3a,方向沿着C0L;力P在切羲方向的分力等于P2c03B=T209B,方 向沿着C,L1.如果这雨个切綫分力能相互抵消，也就是設 果 T'1c09&=T2c09B, (4) 那末点C。处在不衡位置。因此，綫qo是一条折綫ACoB, 頂点C在分界袋8上，并在那里满足条件(4)、 ==========第78页========== 78 最 短 钱 第五章 等周問題 四曲率和短程曲率 1.曲率圓牛徑R的倒数是叫作圓的曲率.这个概 念可以应用紧張的細綫用机械的方式来闡明. 設給定了中心是O、牛徑是R的圓上的弧AB。假設这 段弧是由彈性細綫組成的，在它的雨个端点施加了相等的張 力T1和T2,分别朝着切綫的方向，如图82画的那样。 T1和T2的合力T,方 向是沿着力T1和T2的方向 的交角的不分镬，也就是設， 沿着不分胍AB的牛徑的. 如果这个弧用孤度来計算是a弧度，那末它的長度等于Ra,而它所对的弦的長度等于2Rin令、因为非常小的孤可以大致看作 图82、 等于它的弦，由此就得到 2Rsi血登≈Ra.这样，对于很小的角a就有in心受，就是說，很小的角用弧度表示，和它的正弦函数值大致相等。注更精确地說，当角趋于冪的时候，角和它的正放函数值的此趋 ==========第79页========== 等周間題 79 于1，这个定理的証明可以在任何一本数学分析教程里找到，也可以在三角教科書里找到。 为了要使我們以后的推理严格化，有必要引进等价的无努小量这个概念， 趋于零的变量叫作无穷小量。 設有一个和量α同时趋于的量阝（例如，弧所对弦的長度，和弧畏同时趋于零)。若这时无穷小量B和a的此8也是无穷小量，那 ·就叫作此心阶次高的无穷小量。例如，a2是此a阶头高的无穷小量. 雨个无穷小量α和Y,假知它的此趋于1： Jim=1, 4>0a (1) 它們斗作等价、 例如，弧所对的弦和弧本身等价， 雨个等价的无穷小量Y和α的差，是一个阶光此它捫高的无穷小 量、事实上，由(1)就得到 lim y-aa30 a-0. (2) 因此，当我們把某个无穷小量用和它等价的无穷小量来代替的时候，所产生的諛差是一个阶次比較高的无穷小量。例如，无穷小孤的長度和这个弧所对的弦的長度的差是一个阶次此较的无资小量，当我們把弧和弦等量齐鸡的时候，所产生的諛差比起这两个量来是阶头比較高的无穷小量、 表示量a和Y的等价，我門用記法：≈y. 等价量的例：sna≈a对于无穷小的a成立（这其突是等式1im=1的一种写法). a-0 用弧度来量度的角AOB記作a(图82).这时筷力P1和 ==========第80页========== 80 最 短 钱 力T2的方向所水的角等于开一a,而它們的方向和合力T。的 方向所火的角等于日合· 电图上可以看出，=2Isin名，这里T是力1和T的共同的数值。 知果把弧AB的長度記作8，邢它的用弧度来量度的数 值可以表示成：a= R· 因此， T =27 sin 2r・S 知果孤8非常小，那未 sin 9 2E, 因此 I0=T· 現在再考虑任意曲钱9的情形。这条曲綫上包含点A的 一段微小的班可以看作圓孤（这圓的牛徑R就是曲钱在点在 的曲率牛徑)。設我們的曲緩9是彈性細綫，在它上面的点有 張力T作用着。这时侯在我們所考虑的弧的雨端有雨个張 力作用，根据前面所說，合力的方向沿着曲整牛徑，合力的数 橄等于（特确地說是等价于）T· 数量是叫作我們的曲较在点A的曲率。因此，作用在微 小的弧AB上的力沿着主法緩方向，力的大小和弧長寸、曲车 1 都成正比。 ● 2.短程曲率現在我們来看曲面上曲袋q的-一段微小 的弧8（图33），骰A是这段弧的中点。用京来記羧阀的曲缝 ==========第81页========== 等 周間題 81 在点A的曲率，用P 来記曲綫g在点A的 主法綫AN和曲面在 点A的法殺AN1之 間的夹角。在点A对 这段弧有一个力作用着，力的方向沿着曲機q在点A的主法残，力的大小等于 T是·这力可以分解 图83， 成雨个力：一个力沿着曲面的法餞的方向（这个力被曲面的反作用力所抵褙)，另一个力和曲面相切。这第二个力要使我們的弧在曲面上滑动。它等于（或者正确些說，等价于） Tssin 2=TsT. 数量广=e斟柞曲镜9在点A的短程曲率。R 它决定 了在点A作用在紧張的細羲的班上使这段弧在曲面上滑动的 力的强度；这个作用在曲辍上微小班段的力，是和弧長s、短程曲率Γ都成正比的。 对于短程籛来說，中=0，所以短程出率等于零。沿着短程籛，沒有任何力使曲籛弧在曲面上滑动（沿着短程篾绷紧的細线是处在平衡位置的)。 一五等周問趣 。圆环長度的变动設已經給定华每R的假q以及这 ==========第82页========== 82 最 短 钱 个圆的弧AB.設AB是和AB接近的弧①。 用？表示弧AB的長度，用？+A1表示孤 AB的長度.如果把弧AB变动，使得它 变成弧AB,邪它的長度增加了？，因葡 它的位能增加了T△1。我們把AB变到 AB是这样作的，使得它的每一点C沿着 牛徑移动（图84）。殷非常微小的孤CD (AB的一部分)变成也是非常微小的孤 图84. CD'(AB的一部分).这胍的每一点移动了一段距离CC(由 于CD很微小，我們把它上面各点所历的位移大致看作是 相同的)。由我們的弧以及綫段CC”和DD'所包倒的徽小面 积C0'DD可以大致看作矩形，而如果h是微小的弧CD的長度，那末面积CCD'D大致等于②hCC': 面积CCD'D≈h.C0'. (1) 注意，作用在弧CD上的力，方向沿着华徑，大小等于 会，这里R悬我侧的闽牛徑。把饭CD移动到和C刀重合 所作的功等于力会乘距高CC,就是CC,或者（見(1）) 爱CC'-石（面UDD. (2) 因此，把微小的弧CD移动到鄰近位置C”D'所需要作的 功等于（精确些武，是等价于）安乘上这个狐移动的时候扫过 ①在淡到和弧接近的另外一条弧的时候，我們假設这条弧的点接近孤的点，这条弧的曲率接近圓弧的曲牵。 ②大致相等就是等价的意思 ==========第83页========== 等 矧間題 83 的面积CC'D'D. 把包舍在孤AB和AB之間的面积記作F。用从中心 O!发的牛徑把这块面积分成許多小块的面积（和面积 CCD'D类似的)。这样一来，弧AB色分成了箭多很小的胍. 每一个这样的小班CD在它运动的时侯扫过了相应的一块面 积CC'D'D(包圍在这个孤、弧CD'以及牛徑段CO'、DD'之 稠).完成这样一个移动所需婴作的功等于桑上这个弧所 扫过的面积。把整个弧AB移动到AB位置总共所需要作的 功等于上面所說那些功的总和，也就是那些小块面积的总和再乘上无，也是会4P,这里dF是弧移劲的时候所扫过的面积。 但是，所作的功等广出弧AB变到撕AB的时侯位能的 增量4V: 4y04r. (3) 另一方面，由第11节公式(2)得到： AV=TAL, (4) 这里4是長度的增盘。比鞍(3)式和(4)式，我們得到： TAF≈T4B 或者 1芯元4R. (6) 弧AB的長度的冷量4：等于（精确些晚，是等价于）面华： 乘上弧AB和AB之閻所爽的面积⊙。 ①用这些等式所求得的結果和实际数值的麒差是比4阶次高的无穷小 赶。 ==========第84页========== 84 最 短 2.任意曲钱的孤的長度的变动如果不用圓面用任意 的曲袋，那它的微小的孤AB可以看作牛徑是R的圓班(R是 曲牵牛徑)，如果把了群作曲殺在弧AB上某点的豳率，粥 公式(5)仍旧有效. 对于曲面上的袋来說，也有完金类似的关系，只要处处把綫的率换作短程曲就可以了。这时候公式(5)就变成 4l=r4, (6) 这里是短程曲率，山1是当曲綫的弧变到曲面上和它鄰近 的胍的时候弧的長度的增量，而4F是起 初的孤和变动后的弧之間所夹的面积. 在图84里，面积4F是在包含弧AB 的这个圓外面.在图85里，它是在圓的里 面。在后…个情形，我們把面积F看作 是負的。圓弧長度的增量41也是负的（弧不是馏畏，而是縮短了). 图85. 3.等周問題現在来看下面一个間 題。在所包圍面积等于已經裕定的常数量？的所有閉曲袋当中找出長度最短的。 我們假設这样的曲袋存在。要証明它是一个圆注意，常曲的曲袋（就是說，在它每一点都有同-·个曲率是的曲复)是圍。 我們門作出这个事实的証明，但不十分严格. 常曲举文的曲越上非常微小的弧可以看作牛徑是的圆弧。整 ==========第85页========== 等周間題 85 个曲越可以看作由大量的这种微小的弧所組成，而相鄰的雨个之間有部分的重迭.有同一牛徑的雨个微小的圓弧，如果有部分的重迭，那合井起来共同组成一个新的也有同一牛徑的微小圓孤.这样，把我門这条曲钱分割得出的这些微小的弧的每相鄰的一对，就組成了牛徑是的圓的一段弧.穖續这样的推論，我們就可以相信，每3、4、5…个 微小的弧一个接一个，也成牛徑是R的圓上的一段孤，因此，整个曲 裁也粗成牛徑是R的圓上的一段弧。若我們說的是一条常曲华京的 閉曲越，那末这条曲莪簡值就是牛徑是R的圓。 毅我們有一条閉曲筱q,它在所有包凰給定的面积大小 F的閉曲綫当中有最短的長度。假設它不是一个圓，就是說， 它的曲幸井不到处都相等。 此如，設在这条曲袋的点A和点B(图86)不同，并 且分别等于品，和后这里 R1≠R2. 为确定起見，我們假設 11 RrRa 我們来看綫？上包含点A和点B的 微小的弧CD和C1D1.用一段鄰近的弧 图86， CAD来代替弧CD,用嘟近的弧C1BD1来代替源C1D1。用 F1来表示CD和C4'D所包的面积，用F:表示C1D1和 C1B'D1所包凰的面积。由公式(5)，把胍CD换作弧CA'D的 时候，曲綫q的長度得到的燴量等于（确切些說，是等价于） 14竖1，而把弧C1D,换作弧C1BD的时候，？的長度得到的 增量是品，4P.9包圍的面积的总共哈景等于A1十4， ==========第86页========== 86 最 短 篾 面曲袋長度的增量等于（等价于） -4F2 現在，我們这样地选擇弧CA'D和1CB'D1,使得dF:种 4F2的絕对值相等而符号相反，比如AF1>0,而A'公三 一F1<0。这时候面积的瘤量F+AP2=0,就是，当我們 改变曲袋q的时候，面积不变。而袋g的長度的增量等子(特确些說，是等价于) 但因为 11 致2 所以 dn(R) -R2<0 所以，綫q的增量是负的。山餐？变成了另一条度度此較短的！錢q1,它州所包圍的面积却一样大小。可知，q并不是在所有包嚼給定面积大小的阴曲綫当中長度最短的由这里就得出結論：在包圉粉定面积大小的所有阴睡綫当中，長度最短的是圓。 4.曲面上的等爵間题在曲面上也可以来若虑类以的 sin p 問题，不过把曲率处处都用短程率厂二:来代替.例如，若有知释装r=”的此镜？上，把微小的就C0 用它躑近的孤CAD来代替，而CD和CAD之間所爽的面 积等于4F,那末把OD换成C'D的时候，袋長度的燴量 41可以表达作： 1=dp si=TF. B ==========第87页========== 数馬原理和它的推論 87 重复前面定理的証明，但到处用短程曲来代替慟李，我們就得到下面的定理、 在曲面上包圍給定面积大小的所有開曲袋当中，常短程曲的錢長度最短（在球面上，这样的綫是大圓和小圓）。注在球面上，也同在邓面上一样，常短程曲的曲棧是短程圓.在其他曲面上，常短程曲的曲賤，一般来就，井不一定是短程圓、 第六章费馬原理和它的推論 一六费馬原理 1。费馬原埋在儿何光学里，和所謂費馬原理有关的問題，非常接近于我們所考虑的問题 我門来若虑一种华面的光学某質，在它的每一点A(如，y),光速和点A的位置有关，就是心=w(x,)=w(A)。若在各点的光速都相同，那末这种光学媒質斟作均匀的. 用光的速度来走完面袋q所需要的附間明作！棧q的光学長度。 在光速等于v的均匀光学媒質里，曲錢9的光学萇度和普通長度()成正比，等于 T(9)=(. 费馬原理在光学媒質里，光綫由点A到点B所走的途 徑是联桔点A到点B的所有曲畿当中光学長度最短的一条。●● ==========第88页========== 88 短 钱 由这里就得出，庄均白的光学媒質里，光綫沿道綫傳播。 2.反射律設在均勻的光学媒質里給定了一条能够反 C 射光綫的曲袋&（曲面鏡）(图87).要求出光袋从点 A出发、經过曲綫&反射 B 以后达到点B所走的曲 D 綫q.曲綫90是所有联 图87. 桔由点A經s反射而达到 点B的曲綫9当中最短的一条.可知这条曲綫（見第5节） 是折袋ACB,它的頂点C在曲綫s上，而角ACB的平分殺OD是曲綫s在点C的法綫. 光綫AC、CB和法羲CD的夾角ACD=&和DCB=B分 别畔作入射角和反射角。我們門就得到了笛卡尔的光筱反射律：人射角等于反射角。 由第11节所說的关于橢圓和抛物綫的法镬性質，可以推得： 若曲筏s的形状是橢圍，那末由这个橢圆的焦 点F发出的光，經过反射 以后会聚在另一个焦点F 上（图88）. 图88. 若曲綫8的形状是抛物筏，那末由他物綫的焦点发出的光，經过反射以后变成和抛物镜軸平行的光辍：反过来，和抛物履軸本行的光餐，翘过反射以后会聚在抛物钱的焦点上● 爱 ==========第89页========== 费原理和它的准論 89 (图89). 在探照灯、反射望远鏡等仪器里，要求把鏡面造成回轉抛物面（把抛物筏繞着它的軸回糖所得的曲面)，就是根据抛物綫的这个性質。 图89. 3。折射律現在我們来看由一条分界曲綫8分开的雨 种均匀的光学媒質I和亚（見图81）；在媒質I里光速等于 w1,在煤質Ⅱ里光速等于g.求出由媒質I里的点A到媒質亚 里的点B的光筏途徑。 我鬥来考虑所有可能的联秸点A和点B的钱g,它們抽在媒質I里的弧AC和媒質亚里的弧CB拼成，C是在s上的一点。曲棧q的光学長度T(q)等于 T(Q)-T(AC)+7(B)=1(4011(0) (1) 2 設曲綫g。是在所有的曲袋q当中有最短的光学長度的一条。 我們再考虑一条均匀的柔韌細钱q,雨端系在点A和点 B,它的中間一点C在曲競s上滑动，而在細綫q的AC部分， 張力等于T1=,在CB部分，張力等于T2=1 由第13节的(2)式，位能V(9)等于 v(g)=1(a@)+1(©m 2, 2 (2) ==========第90页========== 890 最 短 棧 此較(1)、（2)兩式，我們得到： T(g)=V(q). 細筏q的位能和它的光学長度相等。可知曲钱q当中有最短光学長度的曲籛q0,就是曲錢q当中有最小位能的一条。由第13节的(4)式，9o是折殺ACB.設a和B分别是綫段ACo、CoB曲綫&在点Co的切筏LL1的夾角。由第13节的(4)式，我們有： cos a Cos 8 (3) 1 这就是光的折射律。設a1和B1分别是角a和B的余角，也就是筏段ACo、C0B和s在点Co的法綫的交角.角a1斟 作入射角，角B1叫作反射角。公式(3)可以写成： sin a sin 2 七折射曲袋 1。最簡罩的情形設平面被邓行于轴的直綫分成了蔚多条帶形，在每一条帶形里，光速等于常数（图90）。在某雨条帶形里分别取点A和点B。.設帶形Io包含点A,帶形Mm包含点B;在这雨条带形中間聞还依次有带形Mi、M2…M-1。設在帶形M。里光速等于wo,在M1里等于1…在M里等 于。从点A到点B的光筏，形狀知折綫AC1C2…CB, 它的各頂点就在帶形之間的分界綫上。这条折綫的各条边AC1、C1C2、C2Cg…Cn-2Cn-1、Cn-1Cn、CnB和平行于心軸的直钱之聞的夾角，分别記作ao、a1、a4…am-1、A。在点C1有 ==========第91页========== 数思原理和它的推論 91 下列的关系成立： cos do cos 1 Cp Vo 1 dn-1 (依照折射律)；在点C2有： No-1 Cn-1 COS &L-cos a21 Va &s 等等，最后，在点Cn有： co9a月-1=C0san 2 伦 n-王 Vn 出 从这里就得到：eos do cos a3eos aa % 2 Vo 22 图90. 三◆。◆量工 C0S4m-1=eosa市 飞h-1 (1 用c表示这个公共此值，那上式可以写成： cos a (2) 这里，α是折綫的某条边和x軸的夹角，是沿着这一条边的光速。 在折篾任何-一条边上某点的折綫的切虥，就是这条边所在的直綫、因此，等式里的α可以看作折筏在它某点的切筏和：軸的夹角，而)是在这一点的光速。 2。折射曲篾我們看一种光学媒質，在它望面某一一点的光速随这一点的䡮坐标而变： V=(y), 这里，是y的連衡函数。在这种媒質里，光畿的途徑9是那样的曲箴，沿着这种曲能有下列的关系成立： ==========第92页========== 92 最 短 钱 cos a (3) 这里)是曲綾q上任一点C的光速（图91），a是q在点C的切畿和x軸的灰角，C是常数（和点C在曲綫上的位置无关）。为了要建立等式(3)，我們把光速在这个媒質里的变化情死略为变动-一下，把媒質分成許多寬度是九的狭窄帶形，把每 一条帶形里的光速看作常数，此如說，等于在这条帶形中綫上 (图91)的光速。这样，按照前面所說的从点A到点B的光 筏途徑是折綫 (AB)n,这折餞的各頂点就在各条带形的分界袋上，根据以前所 图91. 說，折袋(AB) 是滿足(3)式的。我們把光速的变化情况作了些变动，但是我們的带形取的越狭窄，那变动就越小。 当帶形的寬度九趋于容的时候，那极限就是原来所說的光速速續变化的情形。这时候折綫(AB)趋于l筏q,q也会滿足条件(3)。 3。罗巴切夫斯基几何学的潘加莱模型把用：軸作界的上牛平面看作一种光学媒質，設在这种媒簧里各点的光速等于点的樅坐标： =则、 在这种媒質里的光钱是中心在：轴上的牛圓（图2）.我們来看这样用轴上的点O作中心的牛圓g。在它的 ==========第93页========== 焦原跟化的推 图92. 点A縱坐标是y,在这一点的切镘和：轴的交角ACO是a 若这个圓的华徑是R,那术 y=R sin 8, 这里 8=∠40C=-a, 或 y=R cos a, 也就是 cos a 1 y 这样，牛圓q滿足我們的(3)式，也就是在这种煤質里光畿的方程。随着和x軸的接近，光速趋近于零， 可以証明，牛圓g上，一端在然軸上的AD段有无穷大的光学長度。因此，轴上的点叫作“无穷远”点， 我們把中心在公軸上的半圆看作“直綫”，这种牛圓上的孤的光学長度看作直畿的“長度”，这样的直袋之間的交角就是半圆在它們交点上的交角（切綫間的交角）。 我們就得到了-一种不面几何学，在这种儿何学里，普通平面儿何学里的許多命题仍旧有效。比方，通过雨点可以引唯 一的一条“直綫”（在牛平面上，通过雨点只能引一个用龙蜘上 ==========第94页========== 94 最 短 钱 的点作中心的牛圓)。在联結雨点的所有曲袋当中，用这雨点作端点的“直籛“度度”最小。雨条有公共“无穷远点”的直錢也就是在x軸相切而中心在心轴上的兩个华圓，自然会看作是“不行的”。通过不在“直綾”q上的一点A可以引9的雨条不行“直錢”q1和q2(图93)。这雨条直綫把坐不面分成四 个用A作頂点的 “角”，通过点A而 在第一对对頂角工和亚里的直钱81，和直篾”q有交点. 图93. 所有在对頂角班和 亚里的直筱s2和q不相交. 我們在本面上得到了罗巴切夫斯基几何学的一种实現，这就是所謂罗巴切夫斯基儿何学的潘加萊糢型。 一八提镂問題 1。旋輪犧設牛徑是R的圓K在直錢L1上滾动，这 条直钱我們就取作x軸（图94）。圓周的运动是由兩个运动粗 成的：(1)繞着中心O、角速度是ω的棘动；圓周上点的綫速度 因而等于w=Rω；(2)平行于軸x用同-一个v作速度的移动. 这时侯圓周上的点A所描出的曲綫叫作旋輪袋。 設在时間t=0的时筷，点A在x轴上（見图94)。到时間t的时候，圓周轉了一个角度B=tω。在这个时刻，点A的縱坐标等于 ==========第95页========== 费照原理和它的推論 95 =R(1-C03 B)=2 R sin3_B2 (1) 我們来确定这一时刻点A的速度的方向。这是旋輪袋的切餞 方向。 移动的速度 T1AD1等于心， 方向平行于x軸.沿圓周运动的速度 A 里2=AD訑等于w,方向沿着圆的切 袋.角D1AD2等于 (一B).按不行四 图94. 边形法則把这雨个速度加起来就求州点A沿旋輪綫运动的 速度.它的方向沿着角D1AD2的下分筏，和心轴的方向成角 (-8)-ー专 《見图91)、这样，在点A的旋输綫切袋和x軸的夾角等于 a=-B 2-2 因此 cosa = sin・ (2) 由公式(1)和(2)就得出 cos a 2 或 cos a =0v y (3) 式(3)把旋輪筏在点A的切綫的倾斜角Q和这一点的機坐标 ==========第96页========== 8 最 短 钱 联系起来、反过来，满足这个式的曲綫是旋輪筏 2.捷綫問題設A和B是雨点（假定点B的位置比点 A的低（图95）)。用曲綫g联桔 点A和B;初速是0的点在重力 作用之下沿着曲綫q从点A到点 B所費去的时間斟作沿曲畿q的降落时間。 要求联結点A和B的最速降 图95. 袋q(最速降綾也啡捷綫)，就是 沿着它从A到B的降落时間最短的曲虥. 在包含点A和B的垂直平面上，取点A所在的水不直钱 作然軸，而y軸取向下的方间、初速是0、在重力作用之下运动的点，它的速度)和縱坐标y之間有下列关系： 2=2gy 或 U=/2g√y。 (4) 我們取一种光学媒霞，設在它里面的光速，由公式(4)决定；曲畿q的光学長度就和沿这条曲綫的降落时間相等。光 綫从点A到点B所取的途徑90是所有联結点A和B的曲 綫当中有最短光学長度的曲綫；因此qo和捷袋重合.曲織9o滿足等式（見第17节的(3）式) cos a cos a 2 =C(C是常数) 或 cos a C1 v y (C1=cV2y）. 根据前面所說的旋输筱的性質（見公式(3）)，我們从这里就知 ==========第97页========== 費馬原理和它的推論 Y 道捷綫是旋輪綫的弧， 一九悬鍍线和最小罔韓曲面問題 【.悬鰱織重而均与的鍵子（或不可伸長的細綫）雨端 系在雨点A、B,在重力的 作用下处在本衡状态的时猴，它所形成的曲綫叫作悬鍵綫（图96）（鏈子均匀 的意思是指它的密度P是 b 常数；鍵子上任何度度等于五的一段总是有質量ph). 出 如果又把鏈子AB在 点D1和D2系住，那末鍵 图96， 子D1D2部分的平衡位置不变动.悬鏈錢AB是悬鏈袋)1D,的 延長。可以把悬鍵钱看作是在雨头都无限延長出去的，而曲 镜AB只是无限悬嶷錢的-一部分。 悬變綫上处在最低位置的点C啡作悬辩綫的頂点。无限 悬链钱关于通过頂点的垂直軸NN'是对称的.我捫把这个 轴取作y軸。 我們来考虑悬鏈棧右側的一部分CL.用y表示悬鍵綫 上某点D的樅坐标（图97），用α表示在这一点的切袋和心軸 的夹角，用$表示悬鍵畿弧CD的長度。 把悬鍵钱在点O和D固定。作用在点D的力P叫作跳 ==========第98页========== 98 最 短 钱 子在点D的張力，它的方向 psina 沿着悬鍵綫在点D的切綫 (图97).作用在点C的力 D p cosa P。的方向沿着悬鍵綫在这 D -一点的切綫，就是說，平行于c軸（方向是朝左的）. 作用在鏈子的CD一段 上的重力的合力T,方向不 行于y轴而向下；長度是8 图97. 的CD段的質量等于Ps。从 这里就知道T的值等于 T=gps, (1) 这里9是重力常数。力P的垂直方向分力朝着上方，并等于 P sin a,而它的水不方向分力朝着右方，井等于P cos a,若把悬鏈綫硬化，那它仍旧处在平衡狀态。作用在悬鍵綫的雨个水平力Po和P cos a,垂直力T和P sin a,方向各各相反，并且互相抵滑，从这里，根据()就得到 P sin a=gps, (2) P cos a=Po. (3) 現在，讓鏈子沿着悬鏈綫移动，使得鏈子的每个点描出了 一段長h的微小的弧.这样，鏈子移到了位置C'D.求把躂子作这样移动所需要作的功、 棚在点D的力P所作的功等于Ph;力P。在点C所作的 功等于一P五。因此，移动缝子的时候总共所作的功等于 ==========第99页========== 费馬原理和它的推論 99 R=(P-Po)h. …(4) 在原来的位置CD,鏈子由CD段再加-·小段Cy組 成。在移动后的位置C”D',鏈子由同一段')再师上一小段 DD組成。雨个加上去的小段CC'和DD有相等的長度五， 相等的質量Ph,但CC的縱坐标是yo,而DD'的縱坐标是y。作功的結果就是原来加上的䡮坐标是y的一段，换成了同样質量但是縱坐标是y的一段。由这里就看出，所作的功等于 R=gph(y-30). (5) 由(4)和(5)得出： P-P。=gP(y-yo) 或 P-gpy=Po-gpyo. (6) 如果把鍵子和它自己平行地沿着y的方南运动，邪它 的形状以及在各点的反作用力P都不变.我們把悬鈍袋沿 着y軸的方向这样移动，使得它的原来樅坐标y。等子 . 01 (7) 悬鏈酸这样的位置啡作标准位置。下面我們还要作出悬踺钱标准位置的几何定义.在这个位置，式(6)化簡成 P-gpy=0 或 y=1P. (8) 处在标准位置的悬鏈綫上各点的張力和点的绕坐标成正◆◆ 此。 由(3)推出： ==========第100页========== 100 最 短钱 1 P cosa=1P。g g0 或者，用等式(7)和(8)，就有： y cos a o. (9) 式(9)把悬链筏上点的縱坐标和悬鍵钱在这一点的切镬，和心轴的交角联系了起来。 比較式(9)和折射曲機方程（見第17节的(3）式)，我捫得到： 处在标准位置的悬鑖綾正是在光速和縱坐标成反比()= 日)的！質里所走的途徑。 2.悬键機标准位置的几何定义由等式(2)和(8)得到： 1P8in=8, S 井且， s=y sin a。 由这里就得到： y-s=y(1-sin a). 最后，由(9)我們得到： y-s=30 1-sin ac03a· 用B✉云一Q来己悬鍵镜切钱和y触的爽角。我們得到： 1-cos B 2sin3_月 y-$=30"sin B 2 我們来看綫段D,它和y軸平行，朝着下方，長度等于 悬键筏CD的長$（图98）。若把弧CD仍旧系牢在点D, ==========第101页========== 费馬原理和它的推論 101 讓点C自由，那孤OD在重力 作用下会达到新的平衡位置 一垂直的綫段DE。簡單一 些說：鍵子的胍CD“落”到了 位置D亚。垂直綫段EE1,長 t sD 度等于y一8，指示鏈子的“落 E 下”部分的端点B距x軸有多 E 远。 图98. 由公式(9)得到： sin B=cos a=o (11) 設点D沿着悬鏈綫无限制地向上跑，它的縱坐标趋于无 穷大： y)∞、 曲(11)，这时候gnB趋于0。于是乃→0（在点D)的切畿和y轴的爽角趋于0.同时，g号→0，因此由(10，有： 李 lim(y-8)=0. y→∞ 当弧CD的端点D无限远离的时候，从落下的弧C)的 端点E到，軸的距离趋于0. 若悬鍵缎处在标唯位置，那末比軸就是那当落下的呱 DE的起点D无限远离的时候未蜡E所无限接近的，条水 平直钱. 这就表达出了悬链钱标准位摑的特征。 ==========第102页========== 102 最 短 楼 3。最小回轉曲面求解下面的問题： 在所有联結給定的雨点A、B的面曲綫q当中，找出邢把它繞x軸回轉所得的回轉曲面側面积最小的曲織（图99）。 用V(q)表示把曲綫q繞x軸回轉所得的回轉曲面的側面积，用 8 T(q)表示在光速由公式 1 心)=2xy (12) 来决定的媒質里，曲篾9的光学長度、 图90. 我們来証明这雨个 量的相等： V(9)=T(q). 設CD是曲綫q上長度是九的一段微小的弧。先証明 V(CD)=T(CD). (13) 把CD看作微小的直筏段，井用y来記CD的重心的縱 坐标，我們得到：回轉面锄面积V(CD)等于一个截头圓錐 的側面积，这个截头圓雏的母緩長九，中腰截面徑等·于y.由这里就得到 V(CD)=2myh, 另一方面，如果光速w在这微小酸段的中点等于（因此，在整个镜段都大致等于刊g那卡这微小钱段的光学兵度T(C 等于 ==========第103页========== 費馬原理和心的推論 103 T(CD)=h=27ryh, 1 2xy 就是說，我們得到了等式(13). 光学長度T和回轉曲面側面积V的相等关系既然对于 曲綫9的微小綫段已錾建立起来了，那就可以推出这个相等 海 关系对于整个曲餐q也成立.因此，如果对于某条曲钱g, V(q)达到最小值，那末对于同一条曲餐，光学長度T(9)也达到最小值。按費馬原理，曲綫q是在我們的光学媒質里联結 点A和B的光袋的途徑。而在我們这光学媒質里，光钱途徑 的形状是悬鍵籛（处在标准位置）。 所以，在所有联精点A和B的曲篾g当中，悬鑖袋AB(处在标准位置)是繞着公軸回轉所得的回轉曲面侧面积 V(9)最小的一条. 4.極小曲面和我們所解决的关于联結給定的雨点的 最短筏的間題相仿的，可以提H出关于绷紧在給定的曲筏上（就 是用給定的曲綫作它的边界)的最小豳面問題，这样的曲面就是所謂极小曲面。 如果曲綫T是平面曲織，那它所包团的一块本面Q就是 铆紧在曲筏？上的极小曲面. 如果曲綫”不是平面曲袋，邦极小出面就不会是不面的 一部分。 把点A和B繞着x軸轉，产生了雨个假”1和T2,这雨个團是在和这軸垂直的平面里，圓心就在轴上。由联秸这雨点的悬鍵钱AB回轉所得的回轉曲面是绷紧在圓1和r?上的 ==========第104页========== 104 最 短 棧 极小曲面。 5。关于最小回轉曲面的等周間題我們来解一…个更复 杂的問題：在所有長度一定（等于1）的联结点A和B的曲綫 当中，找出，条粳着轴回轉所得的回轉曲面侧面积最小的. 我把回轉軸LL1看作是水本的（图100）。 用長度等于給定的長度。的鍵子联結点A和B。它就会 取一条悬鏈綫AB的形状，長度等于o。选取水平直綫MM1 (平行于回轉軸LL1)作：轴，使得悬鐃綫AB这条軸来說 是处在标谁位置。 用V1(q)記曲钱9繞 轴（軸MM1)回轉所产生的 側面积，用V(q)表示曲綫q德軸LL1所得的；(q)表示曲筏q的長度。若心是軸LL1 图100. 和軸MM1之間的距窝，那末 V(g)=Vi(g)-2mal(g). (14) 事实上，骰CD是曲镜q上長度是h的一段微小的班.若y是CD的中点到軸MM1的距离，那末(y一)是这个中点到軸LL1的距离。長度(CD》=h。并且， Vi(OD)=2Thy,V(CD)=2mk(y-a). 因为 27h(y-a)=27hy-2Tah, 所以 V(CD)=V1(CD)-2mal(CD). (16) 所以，公式(14)对于曲钱9上任何一段微小的弧来說是宾确的。可知它对于整个曲钱q地是其确的。 ==========第105页========== 覆原理和它的推論 105 我們所要討論的是長度是，而联結点A和B的曲綫q.对于这些曲綫来說， V(g)=Vi(q)-2mloa, 也就是，对于它們来說，V(g)和V1(q)的值相差-一个常数2ro.因此，这雨个数量在同一条曲餐qo上达到它們的极 小值。在所有联秸点A和B的曲綫当中，在这里特别指長度 等于的曲筏qo当中，对x軸来說处在标准位闐的悬鏈綫q0的V(9)值最小，也就是繞着x轴回轉而得的側面积最小，因此，在所有联精点A和B、長度等于。的曲織g当中，仍旧是悬鍵綫耠出V(q)的极小值. 悬桀簑的这个性賓可以用另外的方式証明。 若虑联秸点A和B并且有某給定長度的所有曲篾g所形 城的总体。每一条这样的曲綫可以看作一条密度是P的均匀 重鍵的某个位置.重鍵在位置q的位能我們記作U(⑨)。当q=ga是悬链钱的时候，U(g)达到极小值. 事实上，由狄利赫萊原理（見第3节），使U(q)达到最小 为 值的曲钱9o是鍵子平衡时候的位圍. 取水不直殺M1作轴，并假設密度P等于2π.把这 条直筏取作U=0的直，。.若鍵子上長五的微小的弧CD的 中点的縱坐标是y(图100)，那末 U(CD)=phy=2mhy. 同时，这一段微小的弧CD繞着軸MM:(心軸)回轉所得的回 轉曲面側面积V(CD)等于 V(CD)=2mhy. ==========第106页========== 106 最 短 钱 由这里就推出 U(CD)-V(CD), 于是我們可以得到等式 U(q)=V(q). 事实上，由已經証明的对于綫9上任意的微小部分，数 量U和V的相等，就立刻推出，对于整个曲綫9来說，这雨个 量也是相等的。既然在所有联桔点A和B的有給定的長度 的曲綫q当中，悬鏈綫的U(q)有极小值，因此，它也是在这些曲綫当中V(q)有极小值的綫. 随着曲綫变动的数量叫作沈函数.例如数量(q)、V(g)、 T(q)、乙(q)等都是汎函数. 雅各·伯努利第一个考虑了这样的間題： 在有給定長度的所有曲綫当中，找出使得某个沉函数了(q)达到极大值或极小值的曲綫.他把这一类問题叫作等周問题、在第15节所考虑的是这个問题的一个特例，有时也即作狹义等周問题。我們現在所考虑的是等周間題的另一例。 二O力学和光学之間的关联 考虑在某个平面場（有力作用的媒質）里点的运动，設在这个場里力学上的能量守恆定律成立： U+T=c, (1) 这里U=U(g,)是动点的位能，T是它的动能，c是总能量(在运动的每一时刻都保持不变).設点的質量等于1，那我們就有： ==========第107页========== 寶馬原理和它的推論 1o7 7Tu:2 2 这里是点的速度、由这里以及由(I)就推山： w=√2I=W2(c-U)=/2C-U(x,y).(2) 我們考虑所有可能的軌道，就是在給定总能量C不变的 情况下点所描出的途衡。由公式(2)可以看出，动点的速度w完全由动点的坐标x、y所决定，也就是說，由动点所在的位置来决定、 如 例如，对于在重力場里的运动来說，U一9y,这里9是重力常数，y是方向朝下的縱坐标，由公式(2)就得到 w=√2(c-9y)=√/C1-C2(C1=2c,C2=2g). (3) 我們又考虑某一种光学媒質，設在这种媒質里光速)等于力学速度2的倒数： v=0(x,y)=- (x,y) (4) 在光速是v=工的媒質里，光後和速度是0=0（丝，）的点作力学运动的时候所描出的軌道是-一样的，这就是哈密尔噸所建立的光学和力学間的类似性、例知，我們知道在速度由公式(3)表示的重力場里，点的运动軌道是抛物殘；因此，在光速是=— √c1-Cy的媒質里， 光钱走的途徑也是抛物綫。 我們知道，在光速和、号V了成正比的媒算里，光镜 走的途徑分别是中心在x轴上的圓，悬鏈綫、旋輸綫.这些曲镜也就是速度分别和g√， 1成正比的点作力学运劲 ==========第108页========== 108 最 短 钱 的时候所描出的軏道. 为了要証明上面所說的命题，首先注意在一个場里，力是朝着等位綫的法钱的方向作用的（等位畿就是位能等于常数的曲綫： U(x,y)=常数)， 它的方向朝着这种綫的位能北較小的一钿（由(2），在等位钱上，速度0=w(心，y)也是常数)。引一系互相接近的等位筱。 在每-一条这样的等位畿上速 1 此 B 度W等于常数，而在雨条相 鄰等位钱之間的帶形里，速度連縯地变动。在图101里，用w1、2w22、0+1… 图101. 来标出这些曲綫，在这些曲 後上面，速度分别等于1、2…21、w+1… 現在用另-一个运动来代替我們原来的。設在标記着，和+1的雨条曲钱間的帶形里保持速度：不变，而在穿过标記着+1的曲钱的时候，速度有一个跳跃性的变动。我們把原来的速度变化情况变动了一下。但是，如果每相鄰雨条分界畿距离越近（帶形越窄），速度跳跃的間距越小，那末速度跳跃性的变化和原来的連籁变化情况越接近；原来的速度变化情况就可以看作当帶形的寬度趋于署的时候跳跃性变化情况的 极限。 对于速度的跳跃性变化情况来說，作用力（垂直于曲織w=常数的)井不是連續的，而是沿着分界镜的法钱方向的冲 道 ==========第109页========== 数馬原理和它的推論 1e9 力，产生速度的跳跃。 在每条帶形里面却沒有力作用，运动是直綫的。因此运动的軌道是折綫，頂点在各分界錢上。現在我們考虑这样的 折綫軌道上的一段CBD(图102)。在綫段CB上速度等于 -1,方向沿着这个线段。 防+1 w cosB 图102. 在点BI分界羲的切綫MN,用α和B来記綫段CB、BD 和这条切綫的交角。在点B的切筏方向分速度，在轉折以前 的和以后的，分别等于4-1c0ga和w:c03B。既然冲力的方 向是沿着分界筱在点B的法畿的，所以它不改变切綫方向的 分速度， 1cosa=w:Cog 8 (6) 公式(5)表达出軌道穿过分界綫时猴的轉折規律。 現在考虑某一种光学媒質，在这里面光速等于力学运动遮座的倒数电一品，就是酸，在我阀相廓的带形了和重里，光 瑰分别等于1一是，一品.由光織的折射律，在点B有：1w-1 cos a cos Bv-1 v啡 ==========第110页========== 10 最 短 钱 或 w-1C09t芒e,C03B。 豪 所以，在我捫这种光学媒質里，光镀的博折就同力学軌道的轉折一样：光筏走的途徑和力学运动的赖道都是沂後，同时井且同样地轉折，就是說，在第条帶形里有速度的运动軌道 和作同一条器形里有光速，=是的光镜走的途徑完至重合. 对于速度跳跃性变化的媒質，我們的命題就証明了。 在极限情形，当带形的寬度趋于0的时候，当我們得到了速度是w=w(x,9)的力学場和光速是w=v(x,y)=n (,) 的光学媒質的时候，互相重合的折筏运动軌道和光緩途徑也过莈到互相重合的曲籁运动道和光筏途徑. 哈密尔噸所指出的光学和力学之間的关联在近代物理学里起着极其重要的作用。 最后我例指出，獬决寻求汎函数极大极小問題的一般方法是一門叫作变分学的数学所討論的对象。这門数学的基雠是八批紀的大数学家欧拉和拉格蘭日所莫定的， · ==========第111页==========